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Rechner für lange Polynomdivisionen

Die lange Division von Polynomen Schritt für Schritt durchführen

Der Taschenrechner führt die lange Division von Polynomen durch, wobei die Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Rechner für die synthetische Division, Rechner für lange Divisionen

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Finde x3−12x2+38x−17x−7\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 38 x - 17}{x - 7} mit Hilfe der langen Division.

Lösung

Schreiben Sie die Aufgabe in dem speziellen Format:

x−7x3−12x2+38x−17\begin{array}{r|r}\hline\\x-7&x^{3}- 12 x^{2}+38 x-17\end{array}

Schritt 1

Dividieren Sie den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors: x3x=x2\frac{x^{3}}{x} = x^{2}.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie ihn mit dem Divisor: x2(x−7)=x3−7x2x^{2} \left(x-7\right) = x^{3}- 7 x^{2}.

Ziehen Sie die Dividende von dem erhaltenen Ergebnis ab: (x3−12x2+38x−17)−(x3−7x2)=−5x2+38x−17\left(x^{3}- 12 x^{2}+38 x-17\right) - \left(x^{3}- 7 x^{2}\right) = - 5 x^{2}+38 x-17.

x2x−7x3−12x2+38x−17x3x=x2−x3x3−7x2x2(x−7)=x3−7x2−5x2+38x−17\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&{\color{Violet}x^{3}}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\frac{{\color{Violet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x-7\right) = x^{3}- 7 x^{2}\\\hline\\&&- 5 x^{2}&+38 x&-17&\end{array}

Schritt 2

Teilen Sie den führenden Term des erhaltenen Rests durch den führenden Term des Divisors: −5x2x=−5x\frac{- 5 x^{2}}{x} = - 5 x.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie ihn mit dem Divisor: −5x(x−7)=−5x2+35x- 5 x \left(x-7\right) = - 5 x^{2}+35 x.

Ziehen Sie den Rest von dem erhaltenen Ergebnis ab: (−5x2+38x−17)−(−5x2+35x)=3x−17\left(- 5 x^{2}+38 x-17\right) - \left(- 5 x^{2}+35 x\right) = 3 x-17.

x2−5xx−7x3−12x2+38x−17−x3x3−7x2−5x2+38x−17−5x2x=−5x−−5x2−5x2+35x−5x(x−7)=−5x2+35x3x−17\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Chartreuse}- 5 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&x^{3}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Chartreuse}- 5 x^{2}}&+38 x&-17&\frac{{\color{Chartreuse}- 5 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}- 5 x}\\&&-\phantom{- 5 x^{2}}&&&\\&&- 5 x^{2}&+35 x&&{\color{Chartreuse}- 5 x} \left(x-7\right) = - 5 x^{2}+35 x\\\hline\\&&&3 x&-17&\end{array}

Schritt 3

Teilen Sie den führenden Term des erhaltenen Rests durch den führenden Term des Divisors: 3xx=3\frac{3 x}{x} = 3.

Tragen Sie das berechnete Ergebnis in den oberen Teil der Tabelle ein.

Multiplizieren Sie ihn mit dem Divisor: 3(x−7)=3x−213 \left(x-7\right) = 3 x-21.

Ziehen Sie den Rest von dem erhaltenen Ergebnis ab: (3x−17)−(3x−21)=4\left(3 x-17\right) - \left(3 x-21\right) = 4.

x2−5x+3x−7x3−12x2+38x−17−x3x3−7x2−5x2+38x−17−−5x2−5x2+35x3x−173xx=3−3x3x−213(x−7)=3x−214\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&- 5 x&{\color{Green}+3}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&x^{3}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 5 x^{2}&+38 x&-17&\\&&-\phantom{- 5 x^{2}}&&&\\&&- 5 x^{2}&+35 x&&\\\hline\\&&&{\color{Green}3 x}&-17&\frac{{\color{Green}3 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}3}\\&&&-\phantom{3 x}&&\\&&&3 x&-21&{\color{Green}3} \left(x-7\right) = 3 x-21\\\hline\\&&&&4&\end{array}

Da der Grad des Rests kleiner ist als der Grad des Divisors, sind wir fertig.

Die sich daraus ergebende Tabelle wird noch einmal angezeigt:

x2−5x+3Hinweisex−7x3−12x2+38x−17x3x=x2−x3x3−7x2x2(x−7)=x3−7x2−5x2+38x−17−5x2x=−5x−−5x2−5x2+35x−5x(x−7)=−5x2+35x3x−173xx=3−3x3x−213(x−7)=3x−214\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&{\color{Chartreuse}- 5 x}&{\color{Green}+3}&&\text{Hinweise}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&{\color{Violet}x^{3}}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\frac{{\color{Violet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x-7\right) = x^{3}- 7 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Chartreuse}- 5 x^{2}}&+38 x&-17&\frac{{\color{Chartreuse}- 5 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}- 5 x}\\&&-\phantom{- 5 x^{2}}&&&\\&&- 5 x^{2}&+35 x&&{\color{Chartreuse}- 5 x} \left(x-7\right) = - 5 x^{2}+35 x\\\hline\\&&&{\color{Green}3 x}&-17&\frac{{\color{Green}3 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}3}\\&&&-\phantom{3 x}&&\\&&&3 x&-21&{\color{Green}3} \left(x-7\right) = 3 x-21\\\hline\\&&&&4&\end{array}

Daher x3−12x2+38x−17x−7=(x2−5x+3)+4x−7\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 38 x - 17}{x - 7} = \left(x^{2} - 5 x + 3\right) + \frac{4}{x - 7}.

Antwort

x3−12x2+38x−17x−7=(x2−5x+3)+4x−7\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 38 x - 17}{x - 7} = \left(x^{2} - 5 x + 3\right) + \frac{4}{x - 7}A

Verwandte Anmerkung: Polynomial Long Division