Ableitungsrechner

Ableitungen Schritt für Schritt berechnen

Der Online-Rechner berechnet die Ableitung einer beliebigen Funktion unter Verwendung der üblichen Differenzierungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel usw.), wobei die Schritte angezeigt werden. Er kann mit polynomialen, rationalen, irrationalen, exponentiellen, logarithmischen, trigonometrischen, inversen trigonometrischen, hyperbolischen und inversen hyperbolischen Funktionen umgehen. Bei Bedarf wird auch die Ableitung am gegebenen Punkt berechnet. Es unterstützt auch die Berechnung der ersten, zweiten und dritten Ableitung, bis zu 10.

Verwandte Rechner: Rechner für logarithmische Differenzierung, Rechner für implizite Differenzierung mit Schritten

Für die automatische Erkennung leer lassen.
Leer lassen, wenn Sie die Ableitung an einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

Wenn der Rechner etwas nicht berechnet hat, Sie einen Fehler gefunden haben oder Sie einen Vorschlag/Feedback haben, kontaktieren Sie uns bitte.

Ihr Beitrag

Finden Sie ddx(xsin(2x))\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right).

Lösung

Wenden Sie die Produktregel ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) mit f(x)=xf{\left(x \right)} = x und g(x)=sin(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} an:

(ddx(xsin(2x)))=(ddx(x)sin(2x)+xddx(sin(2x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(2 x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}

Die Funktion sin(2x)\sin{\left(2 x \right)} ist die Zusammensetzung f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} von zwei Funktionen f(u)=sin(u)f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} und g(x)=2xg{\left(x \right)} = 2 x.

Wenden Sie die Kettenregel ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) an:

x(ddx(sin(2x)))+sin(2x)ddx(x)=x(ddu(sin(u))ddx(2x))+sin(2x)ddx(x)x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Die Ableitung des Sinus ist ddu(sin(u))=cos(u)\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}:

x(ddu(sin(u)))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)=x(cos(u))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Rückkehr zur alten Variable:

xcos((u))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)=xcos((2x))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)x \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Wenden Sie die konstante Mehrfachregel ddx(cf(x))=cddx(f(x))\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) mit c=2c = 2 und f(x)=xf{\left(x \right)} = x an:

xcos(2x)(ddx(2x))+sin(2x)ddx(x)=xcos(2x)(2ddx(x))+sin(2x)ddx(x)x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Wenden Sie die Potenzregel ddx(xn)=nxn1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} mit n=1n = 1 an, d. h. ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

2xcos(2x)(ddx(x))+sin(2x)(ddx(x))=2xcos(2x)(1)+sin(2x)(1)2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}

Daher ddx(xsin(2x))=2xcos(2x)+sin(2x)\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}.

Antwort

ddx(xsin(2x))=2xcos(2x)+sin(2x)\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}A