Ableitung von e^(x*y*z) in Bezug auf z

Der Taschenrechner ermittelt die Ableitung von

e^{x y z}

nach

z

, wobei die Schritte angezeigt werden.

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Finden Sie $\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$ .

Lösung

Die Funktion $e^{x y z}$ ist die Zusammensetzung $f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$ von zwei Funktionen $f{\left(u \right)} = e^{u}$ und $g{\left(z \right)} = x y z$ .

Wenden Sie die Kettenregel $\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$ an:

{\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}

Die Ableitung des Exponentials ist $\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)

Rückkehr zur alten Variable:

e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)

Wenden Sie die konstante Mehrfachregel $\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$ mit $c = x y$ und $f{\left(z \right)} = z$ an:

e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}

Wenden Sie die Potenzregel $\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$ mit $n = 1$ an, d. h. $\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$ :

x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}

Daher $\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$ .

Antwort

$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$ A

Ableitung von exyze^{x y z}exyz in Bezug auf zzz

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Lösung

Antwort

Ableitung von $e^{x y z}$ in Bezug auf $z$