Ableitung von $\sin{\left(x y \right)}$ in Bezug auf $y$

Finden Sie $\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)$.

Die Funktion $\sin{\left(x y \right)}$ ist die Zusammensetzung $f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$ von zwei Funktionen $f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ und $g{\left(y \right)} = x y$.

Wenden Sie die Kettenregel $\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$ an:

Die Ableitung des Sinus ist $\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$:

Rückkehr zur alten Variable:

Wenden Sie die konstante Mehrfachregel $\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$ mit $c = x$ und $f{\left(y \right)} = y$ an:

Wenden Sie die Potenzregel $\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$ mit $n = 1$ an, d. h. $\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$:

Daher $\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$.

$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$A