Ableitung von $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$

Finden Sie $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$.

Die Funktion $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ ist die Zusammensetzung $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ von zwei Funktionen $f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$ und $g{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$.

Wenden Sie die Kettenregel $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ an:

Die Ableitung des Tangens ist $\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$:

Rückkehr zur alten Variable:

Wenden Sie die konstante Mehrfachregel $\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$ mit $c = \frac{1}{2}$ und $f{\left(x \right)} = x$ an:

Wenden Sie die Potenzregel $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ mit $n = 1$ an, d. h. $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$:

Vereinfachen:

Daher $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$.

$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$A