Ableitung von tan(x/2 + pi/4)

Der Taschenrechner ermittelt die Ableitung von

\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}

, wobei die Schritte angezeigt werden.

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Finden Sie $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$ .

Lösung

Die Funktion $\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ ist die Zusammensetzung $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ von zwei Funktionen $f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$ und $g{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .

Wenden Sie die Kettenregel $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ an:

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right)}

Die Ableitung des Tangens ist $\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)

Rückkehr zur alten Variable:

\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)

Die Ableitung einer Summe/Differenz ist die Summe/Differenz der Ableitungen:

\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}

Die Ableitung einer Konstanten ist $0$ :

\left({\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right) \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \left({\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right) \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}

Wenden Sie die konstante Mehrfachregel $\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$ mit $c = \frac{1}{2}$ und $f{\left(x \right)} = x$ an:

\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x\right)}{2}\right)}

Wenden Sie die Potenzregel $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ mit $n = 1$ an, d. h. $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}

Vereinfachen:

\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}

Daher $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}$ .

Antwort

$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}$ A

Ableitung von tan⁡(x2+π4)\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}tan(2x​+4π​)

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Antwort

Ableitung von $\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$