English | Español | Português | Français | Italiano | Polski | Українська
  1. Startseite
  2. Taschenrechner
  3. Taschenrechner: Kalkül I
  4. Kalkulator-Rechner

Rechner für logarithmische Differenzierung

Ableitungen Schritt für Schritt mit Logarithmen berechnen

Der Online-Rechner berechnet die Ableitung einer beliebigen Funktion unter Verwendung der logarithmischen Differenzierung, wobei die Schritte angezeigt werden. Außerdem wertet er die Ableitung am angegebenen Punkt aus, falls erforderlich.

Zugehöriger Rechner: Ableitungsrechner

Für die automatische Erkennung leer lassen.
Leer lassen, wenn Sie die Ableitung an einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

Wenn der Rechner etwas nicht berechnet hat, Sie einen Fehler gefunden haben oder Sie einen Vorschlag/Feedback haben, kontaktieren Sie uns bitte.

Ihr Beitrag

Finden Sie ddx(xsin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right).

Lösung

Lassen Sie H(x)=xsin⁡(x)H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}.

Nehmen Sie den Logarithmus beider Seiten: ln⁡(H(x))=ln⁡(xsin⁡(x))\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right).

Schreiben Sie die rechte Seite unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen um: ln⁡(H(x))=ln⁡(x)sin⁡(x)\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}.

Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung getrennt: ddx(ln⁡(H(x)))=ddx(ln⁡(x)sin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right).

Differenzieren Sie die linke Seite der Gleichung.

Die Funktion ln⁡(H(x))\ln\left(H{\left(x \right)}\right) ist die Zusammensetzung f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} von zwei Funktionen f(u)=ln⁡(u)f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right) und g(x)=H(x)g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}.

Wenden Sie die Kettenregel ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) an:

(ddx(ln⁡(H(x))))=(ddu(ln⁡(u))ddx(H(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus lautet ddu(ln⁡(u))=1u\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}:

(ddu(ln⁡(u)))ddx(H(x))=(1u)ddx(H(x)){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)

Rückkehr zur alten Variable:

ddx(H(x))(u)=ddx(H(x))(H(x))\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}

Daher ddx(ln⁡(H(x)))=ddx(H(x))H(x)\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}.

Differenzieren Sie die rechte Seite der Gleichung.

Wenden Sie die Produktregel ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) mit f(x)=ln⁡(x)f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right) und g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} an:

(ddx(ln⁡(x)sin⁡(x)))=(ddx(ln⁡(x))sin⁡(x)+ln⁡(x)ddx(sin⁡(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}

Die Ableitung des Sinus ist ddx(sin⁡(x))=cos⁡(x)\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}:

ln⁡(x)(ddx(sin⁡(x)))+sin⁡(x)ddx(ln⁡(x))=ln⁡(x)(cos⁡(x))+sin⁡(x)ddx(ln⁡(x))\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus lautet ddx(ln⁡(x))=1x\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}:

ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)(ddx(ln⁡(x)))=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)(1x)\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}

Daher ddx(ln⁡(x)sin⁡(x))=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}.

Daher: ddx(H(x))H(x)=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}.

Daher ddx(H(x))=(ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x)H(x)=xsin⁡(x)−1(xln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)).\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).

Antwort

ddx(xsin⁡(x))=xsin⁡(x)−1(xln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)A

Verwandte Anmerkung: Logarithmic Differentiation