Rechner für die linke Endpunktannäherung für eine Funktion

Approximieren Sie das Integral $\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$ mit $n = 5$ unter Verwendung der linken Endpunktsapproximation.

Die linke Riemannsche Summe (auch bekannt als linke Endpunkt-Approximation) verwendet den linken Endpunkt eines Teilintervalls zur Berechnung der Höhe des approximierenden Rechtecks:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$

wobei $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Wir haben, dass $f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$, $a = 0$, $b = 4$ und $n = 5$.

Daher $\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$.

Unterteilen Sie das Intervall $\left[0, 4\right]$ in $n = 5$ Unterintervalle der Länge $\Delta x = \frac{4}{5}$ mit folgenden Endpunkten: $a = 0$, $\frac{4}{5}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{12}{5}$, $\frac{16}{5}$, $4 = b$.

Werten Sie die Funktion nun einfach an den linken Endpunkten der Teilintervalle aus.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$

$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$

$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$

$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$

$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$

Zum Schluss addieren Sie die obigen Werte und multiplizieren sie mit $\Delta x = \frac{4}{5}$: $\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$

$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$A