Riemann-Summen-Rechner für eine Funktion

Approximieren Sie das Integral $\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$ mit $n = 4$ unter Verwendung der linken Riemann-Summe.

Die linke Riemannsche Summe (auch bekannt als linke Endpunkt-Approximation) verwendet den linken Endpunkt eines Teilintervalls zur Berechnung der Höhe des approximierenden Rechtecks:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$

wobei $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Wir haben, dass $f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$, $a = 0$, $b = 2$ und $n = 4$.

Daher $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$.

Unterteilen Sie das Intervall $\left[0, 2\right]$ in $n = 4$ Unterintervalle der Länge $\Delta x = \frac{1}{2}$ mit folgenden Endpunkten: $a = 0$, $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $2 = b$.

Werten Sie die Funktion nun einfach an den linken Endpunkten der Teilintervalle aus.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$

$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$

$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$

$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$

Zum Schluss addieren Sie die obigen Werte und multiplizieren sie mit $\Delta x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$

$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$A