Trapez-Regel-Rechner für eine Funktion

Schrittweise Annäherung an ein Integral (gegeben durch eine Funktion) mit Hilfe der Trapezregel

Der Rechner approximiert das Integral mit Hilfe der Trapezregel, wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Trapez-Regel-Rechner für eine Tabelle

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Approximiere das Integral 01sin3(x)+1dx\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx mit n=5n = 5 unter Verwendung der Trapezregel.

Lösung

Die Trapezregel verwendet Trapeze zur Annäherung an den Flächeninhalt:

abf(x)dxΔx2(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)++2f(xn2)+2f(xn1)+f(xn))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)

wobei Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Wir haben, dass f(x)=sin3(x)+1f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}, a=0a = 0, b=1b = 1 und n=5n = 5.

Daher Δx=105=15\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}.

Unterteilen Sie das Intervall [0,1]\left[0, 1\right] in n=5n = 5 Unterintervalle der Länge Δx=15\Delta x = \frac{1}{5} mit folgenden Endpunkten: a=0a = 0, 15\frac{1}{5}, 25\frac{2}{5}, 35\frac{3}{5}, 45\frac{4}{5}, 1=b1 = b.

Werten Sie nun die Funktion an diesen Endpunkten aus.

f(x0)=f(0)=1f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1

2f(x1)=2f(15)=2sin3(15)+12.0078260679127932 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793

2f(x2)=2f(25)=2sin3(25)+12.0582069723326482 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648

2f(x3)=2f(35)=2sin3(35)+12.172574461165122 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512

2f(x4)=2f(45)=2sin3(45)+12.3402147534248682 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868

f(x5)=f(1)=sin3(1)+11.263258974474734f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734

Zum Schluss addieren Sie die obigen Werte und multiplizieren sie mit Δx2=110\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}: 110(1+2.007826067912793+2.058206972332648+2.17257446116512+2.340214753424868+1.263258974474734)=1.084208122931016.\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.

Antwort

01sin3(x)+1dx1.084208122931016\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016A