Rechner für kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte

Bestimmung der kritischen Punkte, Extrema und Sattelpunkte einer Funktion

Der Rechner wird versuchen, die kritischen (stationären) Punkte, die relativen (lokalen) Maxima und Minima sowie die Sattelpunkte der multivariablen Funktion zu finden, wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Lagrange-Multiplikatoren-Rechner

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Finden und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von f(x,y)=2x2y2x2+y32y2+2f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2.

Lösung

Der erste Schritt besteht darin, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu finden:

x(2x2y2x2+y32y2+2)=4x(y1)\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right) (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

y(2x2y2x2+y32y2+2)=2x2+3y24y\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das System {fx=0fy=0\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases} oder {4x(y1)=02x2+3y24y=0\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}.

Das System hat die folgenden realen Lösungen: (x,y)=(0,0)\left(x, y\right) = \left(0, 0\right), (x,y)=(0,43)\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right), (x,y)=(22,1)\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right), (x,y)=(22,1)\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right).

Versuchen wir nun, sie zu klassifizieren.

Finden Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

2x2(2x2y2x2+y32y2+2)=4y4\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4 (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

2yx(2x2y2x2+y32y2+2)=4x\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

2y2(2x2y2x2+y32y2+2)=6y4\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4 (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Definieren Sie den Ausdruck D=2fx22fy2(2fyx)2=16x2+24y240y+16.D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.

Da D(0,0)=16D{\left(0,0 \right)} = 16 größer als 00 und 2x2(2x2y2x2+y32y2+2)((x,y)=(0,0))=4\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4 kleiner als 00 ist, lässt sich feststellen, dass (0,0)\left(0, 0\right) ein relatives Maximum ist.

Da D(0,43)=163D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3} größer ist als 00 und 2x2(2x2y2x2+y32y2+2)((x,y)=(0,43))=43\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3} größer ist als 00, kann man sagen, dass (0,43)\left(0, \frac{4}{3}\right) ein relatives Minimum ist.

Da D(22,1)=8D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8 kleiner als 00 ist, kann festgestellt werden, dass (22,1)\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ein Sattelpunkt ist.

Da D(22,1)=8D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8 kleiner als 00 ist, kann festgestellt werden, dass (22,1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ein Sattelpunkt ist.

Antwort

Relative Maxima

(x,y)=(0,0)\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)A, f(0,0)=2f{\left(0,0 \right)} = 2A

Relative Minima

(x,y)=(0,43)(0,1.333333333333333)\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)A, f(0,43)=22270.814814814814815f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815A

Sattelpunkte

(x,y)=(22,1)(0.707106781186548,1)\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)A, f(22,1)=1f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1A

(x,y)=(22,1)(0.707106781186548,1)\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)A, f(22,1)=1f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1A