Rechner für kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte

Finden und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von $f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$.

Der erste Schritt besteht darin, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu finden:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das System $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$ oder $\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$.

Das System hat die folgenden realen Lösungen: $\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$, $\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$, $\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$, $\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$.

Versuchen wir nun, sie zu klassifizieren.

Finden Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Definieren Sie den Ausdruck $D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$

Da $D{\left(0,0 \right)} = 16$ größer als $0$ und $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$ kleiner als $0$ ist, lässt sich feststellen, dass $\left(0, 0\right)$ ein relatives Maximum ist.

Da $D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$ größer ist als $0$ und $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$ größer ist als $0$, kann man sagen, dass $\left(0, \frac{4}{3}\right)$ ein relatives Minimum ist.

Da $D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$ kleiner als $0$ ist, kann festgestellt werden, dass $\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ ein Sattelpunkt ist.

Da $D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$ kleiner als $0$ ist, kann festgestellt werden, dass $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ ein Sattelpunkt ist.

Relative Maxima

$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$A, $f{\left(0,0 \right)} = 2$A

Relative Minima

$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$A, $f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$A

Sattelpunkte

$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$A, $f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$A

$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$A, $f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$A