Divergenz-Rechner

Berechnung der Divergenz Schritt für Schritt

Der Rechner ermittelt die Divergenz des gegebenen Vektorfeldes, wobei die Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Rechner für partielle Ableitungen, Punktprodukt-Rechner

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Berechnen Sie divsin(xy),cos(xy),ez\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle.

Lösung

Definitionsgemäß ist divsin(xy),cos(xy),ez=sin(xy),cos(xy),ez\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle oder, äquivalent dazu, divsin(xy),cos(xy),ez=x,y,zsin(xy),cos(xy),ez\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle, wobei \cdot der Punktproduktoperator ist.

Daher divsin(xy),cos(xy),ez=x(sin(xy))+y(cos(xy))+z(ez).\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right).

Ermitteln Sie die partielle Ableitung der Komponente 1 nach xx: x(sin(xy))=ycos(xy)\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)} (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie die partielle Ableitung der Komponente 2 nach yy: y(cos(xy))=xsin(xy)\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)} (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie die partielle Ableitung der Komponente 3 nach zz: z(ez)=ez\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right) = e^{z} (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Die Summe der obigen Ausdrücke ergibt nun die Divergenz: divsin(xy),cos(xy),ez=xsin(xy)+ycos(xy)+ez.\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}.

Antwort

divsin(xy),cos(xy),ez=xsin(xy)+ycos(xy)+ez\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}A