Lagrange-Multiplikatoren-Rechner

Ermitteln Sie den maximalen und minimalen Wert von $f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$ unter Berücksichtigung der Randbedingung $x^{2} + y^{2} = 25$.

Achtung! Dieser Rechner prüft nicht die Bedingungen für die Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Benutzen Sie ihn auf eigene Gefahr: Die Antwort kann falsch sein.

Schreiben Sie die Bedingung $x^{2} + y^{2} = 25$ in $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$ um.

Bilden Sie die Lagrangesche: $L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$.

Finden Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$ (zu den Schritten siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das System $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$ oder $\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$.

Das System hat die folgenden realen Lösungen: $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$, $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$.

$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$

$f{\left(3,4 \right)} = 25$

Der Minimalwert ist also $-25$, der Maximalwert ist $25$.

Maximum

$25$A unter $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$A.

Minimum

$-25$A unter $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$A.