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Rechner für die Normalkomponente der Beschleunigung

Ermitteln der Normalkomponente der Beschleunigung Schritt für Schritt

Der Rechner ermittelt die Normalkomponente der Beschleunigung für das durch die vektorwertige Funktion beschriebene Objekt am angegebenen Punkt, wobei die Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Krümmungsberechnung, Rechner für die Tangentialkomponente der Beschleunigung

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
Leer lassen, wenn Sie die normale Komponente an einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

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Ermitteln Sie die Normalkomponente der Beschleunigung für r⃗(t)=⟨t,3t+1,t2−5⟩\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle.

Lösung

Ermitteln Sie die Ableitung von r⃗(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r⃗′(t)=⟨1,3,2t⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r⃗′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: ∣r⃗′(t)∣=4t2+10\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10} (für Schritte siehe Betragsrechner).

Ermitteln Sie die Ableitung von r⃗′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r⃗′′(t)=⟨0,0,2⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie das Kreuzprodukt: r⃗′(t)×r⃗′′(t)=⟨6,−2,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle (Schritte siehe Kreuzprodukt-Rechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r⃗′(t)×r⃗′′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: ∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣=210\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10} (für Schritte siehe Betragsrechner).

Schließlich ist die Normalkomponente der Beschleunigung aN(t)=∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣∣r⃗′(t)∣=252t2+5.a_N\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2 t^{2} + 5}}.

Antwort

Die Normalkomponente der Beschleunigung ist aN(t)=252t2+5a_N\left(t\right) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2 t^{2} + 5}}A.