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Rechner für die modifizierte Eulersche Methode

Anwendung der modifizierten Eulerschen Methode Schritt für Schritt

Der Rechner findet die ungefähre Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe der modifizierten Eulerschen Methode, wobei die einzelnen Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Rechner für die Eulersche Methode, Verbesserter Rechner für die Euler-Methode (Heun's)

Oder y′(x)=f(x,y)y^{\prime }\left(x\right) = f{\left(x,y \right)}.
Oder x0x_{0}.
y0=y(t0)y_0=y(t_0) oder y0=y(x0)y_0=y(x_0).
Oder x1x_{1}.

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Ihr Beitrag

Finde y(1)y{\left(1 \right)} für y′(t)=2t−yy^{\prime }\left(t\right) = 2 t - y, wenn y(0)=1y{\left(0 \right)} = 1, h=15h = \frac{1}{5} mit Hilfe der modifizierten Eulerschen Methode.

Lösung

Die modifizierte Eulersche Methode besagt, dass yn+1=yn+hf(tn+h2,yn+h2f(tn,yn))y_{n+1} = y_{n} + h f{\left(t_{n} + \frac{h}{2},y_{n} + \frac{h}{2} f{\left(t_{n},y_{n} \right)} \right)}, wobei tn+1=tn+ht_{n+1} = t_{n} + h.

Wir haben, dass h=15h = \frac{1}{5}, t0=0t_{0} = 0, y0=1y_{0} = 1 und f(t,y)=2t−yf{\left(t,y \right)} = 2 t - y.

Schritt 1

t1=t0+h=0+15=15t_{1} = t_{0} + h = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}

f(t0,y0)=f(0,1)=−1f{\left(t_{0},y_{0} \right)} = f{\left(0,1 \right)} = -1

y1=y(t1)=y(15)=y0+hf(t0+h2,y0+h2f(t0,y0))=1+f(0+152,1+152(−1))5=0.86y_{1} = y{\left(t_{1} \right)} = y{\left(\frac{1}{5} \right)} = y_{0} + h f{\left(t_{0} + \frac{h}{2},y_{0} + \frac{h}{2} f{\left(t_{0},y_{0} \right)} \right)} = 1 + \frac{f{\left(0 + \frac{\frac{1}{5}}{2},1 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \left(-1\right) \right)}}{5} = 0.86

Schritt 2

t2=t1+h=15+15=25t_{2} = t_{1} + h = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

f(t1,y1)=f(15,0.86)=−0.46f{\left(t_{1},y_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{5},0.86 \right)} = -0.46

y2=y(t2)=y(25)=y1+hf(t1+h2,y1+h2f(t1,y1))=0.86+f(15+152,0.86+152(−0.46))5=0.8172y_{2} = y{\left(t_{2} \right)} = y{\left(\frac{2}{5} \right)} = y_{1} + h f{\left(t_{1} + \frac{h}{2},y_{1} + \frac{h}{2} f{\left(t_{1},y_{1} \right)} \right)} = 0.86 + \frac{f{\left(\frac{1}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.86 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \left(-0.46\right) \right)}}{5} = 0.8172

Schritt 3

t3=t2+h=25+15=35t_{3} = t_{2} + h = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

f(t2,y2)=f(25,0.8172)=−0.0172f{\left(t_{2},y_{2} \right)} = f{\left(\frac{2}{5},0.8172 \right)} = -0.0172

y3=y(t3)=y(35)=y2+hf(t2+h2,y2+h2f(t2,y2))=0.8172+f(25+152,0.8172+152(−0.0172))5=0.854104y_{3} = y{\left(t_{3} \right)} = y{\left(\frac{3}{5} \right)} = y_{2} + h f{\left(t_{2} + \frac{h}{2},y_{2} + \frac{h}{2} f{\left(t_{2},y_{2} \right)} \right)} = 0.8172 + \frac{f{\left(\frac{2}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.8172 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \left(-0.0172\right) \right)}}{5} = 0.854104

Schritt 4

t4=t3+h=35+15=45t_{4} = t_{3} + h = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

f(t3,y3)=f(35,0.854104)=0.345896f{\left(t_{3},y_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{5},0.854104 \right)} = 0.345896

y4=y(t4)=y(45)=y3+hf(t3+h2,y3+h2f(t3,y3))=0.854104+f(35+152,0.854104+152⋅0.345896)5=0.95636528y_{4} = y{\left(t_{4} \right)} = y{\left(\frac{4}{5} \right)} = y_{3} + h f{\left(t_{3} + \frac{h}{2},y_{3} + \frac{h}{2} f{\left(t_{3},y_{3} \right)} \right)} = 0.854104 + \frac{f{\left(\frac{3}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.854104 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \cdot 0.345896 \right)}}{5} = 0.95636528

Schritt 5

t5=t4+h=45+15=1t_{5} = t_{4} + h = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1

f(t4,y4)=f(45,0.95636528)=0.64363472f{\left(t_{4},y_{4} \right)} = f{\left(\frac{4}{5},0.95636528 \right)} = 0.64363472

y5=y(t5)=y(1)=y4+hf(t4+h2,y4+h2f(t4,y4))=0.95636528+f(45+152,0.95636528+152⋅0.64363472)5=1.1122195296y_{5} = y{\left(t_{5} \right)} = y{\left(1 \right)} = y_{4} + h f{\left(t_{4} + \frac{h}{2},y_{4} + \frac{h}{2} f{\left(t_{4},y_{4} \right)} \right)} = 0.95636528 + \frac{f{\left(\frac{4}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.95636528 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \cdot 0.64363472 \right)}}{5} = 1.1122195296

Antwort

y(1)≈1.1122195296y{\left(1 \right)}\approx 1.1122195296A