Wronskianischer Rechner

Wronskianer Schritt für Schritt berechnen

Der Rechner findet den Wronskian der Funktionsmenge, wobei die Schritte angezeigt werden. Unterstützt bis zu 5 Funktionen, 2x2, 3x3, etc.

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Berechnen Sie den Wronskian von {f1=cos(x),f2=sin(x),f3=sin(2x)}\left\{f_{1} = \cos{\left(x \right)}, f_{2} = \sin{\left(x \right)}, f_{3} = \sin{\left(2 x \right)}\right\}.

Lösung

Der Wronskian ist durch die folgende Determinante gegeben: W(f1,f2,f3)(x)=f1(x)f2(x)f3(x)f1(x)f2(x)f3(x)f1(x)f2(x)f3(x).W{\left(f_{1},f_{2},f_{3} \right)}\left(x\right) = \left|\begin{array}{ccc}f_{1}\left(x\right) & f_{2}\left(x\right) & f_{3}\left(x\right)\\f_{1}^{\prime}\left(x\right) & f_{2}^{\prime}\left(x\right) & f_{3}^{\prime}\left(x\right)\\f_{1}^{\prime\prime}\left(x\right) & f_{2}^{\prime\prime}\left(x\right) & f_{3}^{\prime\prime}\left(x\right)\end{array}\right|.

In unserem Fall: W(f1,f2,f3)(x)=cos(x)sin(x)sin(2x)(cos(x))(sin(x))(sin(2x))(cos(x))(sin(x))(sin(2x)).W{\left(f_{1},f_{2},f_{3} \right)}\left(x\right) = \left|\begin{array}{ccc}\cos{\left(x \right)} & \sin{\left(x \right)} & \sin{\left(2 x \right)}\\\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime } & \left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime } & \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }\\\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime \prime } & \left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime \prime } & \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime \prime }\end{array}\right|.

Ermitteln Sie die Ableitungen (Schritte siehe Ableitungsrechner): W(f1,f2,f3)(x)=cos(x)sin(x)sin(2x)sin(x)cos(x)2cos(2x)cos(x)sin(x)4sin(2x).W{\left(f_{1},f_{2},f_{3} \right)}\left(x\right) = \left|\begin{array}{ccc}\cos{\left(x \right)} & \sin{\left(x \right)} & \sin{\left(2 x \right)}\\- \sin{\left(x \right)} & \cos{\left(x \right)} & 2 \cos{\left(2 x \right)}\\- \cos{\left(x \right)} & - \sin{\left(x \right)} & - 4 \sin{\left(2 x \right)}\end{array}\right|.

Finde die Determinante (Schritte siehe Determinantenrechner): cos(x)sin(x)sin(2x)sin(x)cos(x)2cos(2x)cos(x)sin(x)4sin(2x)=3sin(2x).\left|\begin{array}{ccc}\cos{\left(x \right)} & \sin{\left(x \right)} & \sin{\left(2 x \right)}\\- \sin{\left(x \right)} & \cos{\left(x \right)} & 2 \cos{\left(2 x \right)}\\- \cos{\left(x \right)} & - \sin{\left(x \right)} & - 4 \sin{\left(2 x \right)}\end{array}\right| = - 3 \sin{\left(2 x \right)}.

Antwort

Der Wronskianer ist gleich 3sin(2x)- 3 \sin{\left(2 x \right)}A.