Rechner für die Simplex-Methode

Der Rechner löst das gegebene Optimierungsproblem mit Hilfe des Simplex-Algorithmus. Er fügt Schlupf, Überschuss und künstliche Variablen hinzu, falls erforderlich. Im Falle von künstlichen Variablen wird die Big-M-Methode oder die Zwei-Phasen-Methode verwendet, um die Ausgangslösung zu bestimmen. Schritte sind verfügbar.

Objektive Funktion:

Maximieren?

Zwänge:

Komma-getrennt.

Sind alle Variablen nichtnegativ?

Methode der künstlichen Ausgangslösung:

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Maximieren Sie $Z = 3 x_{1} + 4 x_{2}$ , vorbehaltlich $\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1} \geq 0 \\ x_{2} \geq 0 \end{cases}$ .

Lösung

Das Problem kann in der kanonischen Form wie folgt geschrieben werden:

Z = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max

\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{cases}

Fügen Sie Variablen hinzu (Spielraum oder Überschuss), um alle Ungleichheiten in Gleichheiten umzuwandeln:

Z = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max

\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + S_{1} = 8 \\ x_{1} + x_{2} + S_{2} = 6 \\ x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2} \geq 0 \end{cases}

Schreiben Sie das Simplex-Tableau auf:

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$S_{1}$	$1$	$2$	$1$	$0$	$8$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Die Eingangsvariable ist $x_{2}$ , weil sie den negativsten Koeffizienten $-4$ in der Z-Reihe hat.

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung	Ratio
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$S_{1}$	$1$	$2$	$1$	$0$	$8$	$\frac{8}{2} = 4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$	$\frac{6}{1} = 6$

Die ausscheidende Variable ist $S_{1}$ , weil sie das kleinste Verhältnis hat.

Teilen Sie die Zeile $1$ durch $2$ : $R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Addiere die Zeile $2$ multipliziert mit $4$ zur Zeile $1$ : $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Subtrahiere Zeile $2$ von Zeile $3$ : $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$2$

Die Eingangsvariable ist $x_{1}$ , weil sie den negativsten Koeffizienten $-1$ in der Z-Reihe hat.

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung	Ratio
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$	$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$
$S_{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$2$	$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

Die ausscheidende Variable ist $S_{2}$ , weil sie das kleinste Verhältnis hat.

Multiplizieren Sie die Zeile $2$ mit $2$ : $R_{2} = 2 R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Fügen Sie die Zeile $3$ der Zeile $1$ hinzu: $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$0$	$0$	$1$	$2$	$20$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Subtrahieren Sie die Zeile $3$ multipliziert mit $\frac{1}{2}$ von der Zeile $2$ : $R_{2} = R_{2} - \frac{R_{3}}{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Lösung
$Z$	$0$	$0$	$1$	$2$	$20$
$x_{2}$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$2$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Keiner der Koeffizienten der Z-Reihe ist negativ.

Das Optimum ist erreicht.

Es ergibt sich die folgende Lösung: $\left(x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2}\right) = \left(4, 2, 0, 0\right)$ .

Antwort

$Z = 20$ A wird unter $\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left(4, 2\right)$ A erreicht.

Rechner für die Simplex-Methode

Optimierungsprobleme mit der Simplex-Methode zu lösen

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