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Rechner für quadratische Regression

Schrittweise Suche nach Parabeln mit bester Anpassung

Der Rechner findet das Quadrat mit der besten Anpassung für den gegebenen Satz von gepaarten Daten unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate, wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Rechner für lineare Regression

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Finden Sie die Parabel mit der besten Anpassung für {(1,0),(4,5),(6,2),(7,1),(3,−3)}\left\{\left(1, 0\right), \left(4, 5\right), \left(6, 2\right), \left(7, 1\right), \left(3, -3\right)\right\}.

Lösung

Die Anzahl der Beobachtungen ist n=5n = 5.

Erzeugen Sie die folgende Tabelle:

xxyyxyx yx2x^{2}x2yx^{2} yx3x^{3}x4x^{4}y2y^{2}
1100001100111100
445520201616808064642562562525
66221212363672722162161296129644
771177494949493433432401240111
33−3-3−9-999−27-272727818199
∑\sum2121553030111111174174651651403540353939

Die Parabel mit der besten Anpassung ist y=ax2+bx+cy = a x^{2} + b x + c.

a=(n(∑x2y)−(∑x2)(∑y))(n(∑x2)−(∑x)2)−(n(∑xy)−(∑x)(∑y))(n(∑x3)−(∑x2)(∑x)))(n(∑x4)−(∑x2)2)(n(∑x2)−(∑x)2)−(n(∑x3)−(∑x2)(∑x))2=(5⋅174−(111)⋅(5))⋅(5⋅111−212)−(5⋅30−(21)⋅(5))⋅(5⋅651−(111)⋅(21))(5⋅4035−1112)⋅(5⋅111−212)−(5⋅651−(111)⋅(21))2=−322a = \frac{(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = - \frac{3}{22}

b=(n(∑xy)−(∑x)(∑y))(n(∑x4)−(∑x2)2)−(n(∑x2y)−(∑x2)(∑y))(n(∑x3)−(∑x2)(∑x)))(n(∑x4)−(∑x2)2)(n(∑x2)−(∑x)2)−(n(∑x3)−(∑x2)(∑x))2=(5⋅30−(21)⋅(5))⋅(5⋅4035−1112)−(5⋅174−(111)⋅(5))⋅(5⋅651−(111)⋅(21))(5⋅4035−1112)⋅(5⋅111−212)−(5⋅651−(111)⋅(21))2=32b = \frac{(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)-(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right) - \left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = \frac{3}{2}

c=(∑y)−b(∑x)−a(∑x2)n=5−(32)⋅(21)−(−322)⋅(111)5=−2511c = \frac{(\sum y)-b(\sum x)-a(\sum x^2)}{n} = \frac{5 - \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \left(21\right) - \left(- \frac{3}{22}\right)\cdot \left(111\right)}{5} = - \frac{25}{11}

Die Parabel mit der besten Anpassung ist also y=−3x222+3x2−2511y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}.

Antwort

Die Parabel mit der besten Anpassung ist y=−3x222+3x2−2511≈−0.136363636363636x2+1.5x−2.272727272727273.y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}\approx - 0.136363636363636 x^{2} + 1.5 x - 2.272727272727273.A