Kovarianz-Rechner für Stichprobe/Bevölkerung

Schrittweise Berechnung der Kovarianz zwischen Stichprobe und Population

Für die beiden gegebenen Wertesätze ermittelt der Rechner die Kovarianz zwischen ihnen (entweder Stichprobe oder Grundgesamtheit), wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Korrelationskoeffizient-Rechner

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Ermitteln Sie die Stichprobenkovarianz zwischen {4,6,1,2,3}\left\{4, 6, 1, 2, 3\right\} und {1,4,5,3,2}\left\{1, 4, 5, 3, 2\right\}.

Lösung

Die Stichprobenkovarianz der Daten ist durch die Formel cov(x,y)=i=1n(xiμx)(yiμy)n1cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1} gegeben, wobei nn die Anzahl der Werte, xi,i=1..nx_i, i=\overline{1..n} und yi,i=1..ny_i, i=\overline{1..n} die Werte selbst, μx\mu_{x} der Mittelwert der x-Werte und μy\mu_{y} der Mittelwert der y-Werte ist.

Der Mittelwert der x-Werte ist μx=165\mu_{x} = \frac{16}{5} (zur Berechnung siehe Mittelwertrechner).

Der Mittelwert der y-Werte ist μy=3\mu_{y} = 3 (zur Berechnung siehe Mittelwert-Rechner).

Da wir nn Punkte haben, n=5n = 5.

Die Summe von (xiμx)(yiμy)\left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right) ist (4165)(13)+(6165)(43)+(1165)(53)+(2165)(33)+(3165)(23)=3.\left(4 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(1 - 3\right) + \left(6 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(4 - 3\right) + \left(1 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(5 - 3\right) + \left(2 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(3 - 3\right) + \left(3 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(2 - 3\right) = -3.

Daher cov(x,y)=i=1n(xiμx)(yiμy)n1=34=34cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1} = \frac{-3}{4} = - \frac{3}{4}.

Antwort

Die Kovarianz der Stichprobe ist cov(x,y)=34=0.75cov(x,y) = - \frac{3}{4} = -0.75A.