Kovarianz-Rechner für Stichprobe/Bevölkerung

Ermitteln Sie die Stichprobenkovarianz zwischen $\left\{4, 6, 1, 2, 3\right\}$ und $\left\{1, 4, 5, 3, 2\right\}$.

Die Stichprobenkovarianz der Daten ist durch die Formel $cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1}$ gegeben, wobei $n$ die Anzahl der Werte, $x_i, i=\overline{1..n}$ und $y_i, i=\overline{1..n}$ die Werte selbst, $\mu_{x}$ der Mittelwert der x-Werte und $\mu_{y}$ der Mittelwert der y-Werte ist.

Der Mittelwert der x-Werte ist $\mu_{x} = \frac{16}{5}$ (zur Berechnung siehe Mittelwertrechner).

Der Mittelwert der y-Werte ist $\mu_{y} = 3$ (zur Berechnung siehe Mittelwert-Rechner).

Da wir $n$ Punkte haben, $n = 5$.

Die Summe von $\left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)$ ist $\left(4 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(1 - 3\right) + \left(6 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(4 - 3\right) + \left(1 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(5 - 3\right) + \left(2 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(3 - 3\right) + \left(3 - \frac{16}{5}\right)\cdot \left(2 - 3\right) = -3.$

Daher $cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1} = \frac{-3}{4} = - \frac{3}{4}$.

Die Kovarianz der Stichprobe ist $cov(x,y) = - \frac{3}{4} = -0.75$A.