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Ableitung von e−te^{- t}

Der Taschenrechner ermittelt die Ableitung von e−te^{- t}, wobei die Schritte angezeigt werden.

Zugehöriger Rechner: Ableitungsrechner

Lösung

Die Funktion e−te^{- t} ist die Zusammensetzung f(g(t))f{\left(g{\left(t \right)} \right)} von zwei Funktionen f(u)=euf{\left(u \right)} = e^{u} und g(t)=−tg{\left(t \right)} = - t.

Wenden Sie die Kettenregel ddt(f(g(t)))=ddu(f(u))ddt(g(t))\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right) an:

(ddt(e−t))=(ddu(eu)ddt(−t)){\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{- t}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dt} \left(- t\right)\right)}

Die Ableitung des Exponentials ist ddu(eu)=eu\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}:

(ddu(eu))ddt(−t)=(eu)ddt(−t){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(- t\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dt} \left(- t\right)

Rückkehr zur alten Variable:

e(u)ddt(−t)=e(−t)ddt(−t)e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dt} \left(- t\right) = e^{{\color{red}\left(- t\right)}} \frac{d}{dt} \left(- t\right)

Wenden Sie die konstante Mehrfachregel ddt(cf(t))=cddt(f(t))\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right) mit c=−1c = -1 und f(t)=tf{\left(t \right)} = t an:

e−t(ddt(−t))=e−t(−ddt(t))e^{- t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(- t\right)\right)} = e^{- t} {\color{red}\left(- \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}

Wenden Sie die Potenzregel ddt(tn)=ntn−1\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1} mit n=1n = 1 an, d. h. ddt(t)=1\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1:

−e−t(ddt(t))=−e−t(1)- e^{- t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = - e^{- t} {\color{red}\left(1\right)}

Daher ddt(e−t)=−e−t\frac{d}{dt} \left(e^{- t}\right) = - e^{- t}.

Antwort

ddt(e−t)=−e−t\frac{d}{dt} \left(e^{- t}\right) = - e^{- t}A