Calculadora de parábolas

Hallar el vértice, foco, directriz, eje de simetría, latus recto, longitud del latus recto (anchura focal), parámetro focal, distancia focal, excentricidad, intersecciones x, intersecciones y, dominio y rango de la parábola $y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$.

La ecuación de una parábola es $y = \frac{1}{4 \left(f - k\right)} \left(x - h\right)^{2} + k$, donde $\left(h, k\right)$ es el vértice y $\left(h, f\right)$ es el foco.

Nuestra parábola en esta forma es $y = \frac{1}{4 \left(\frac{21}{4} - 5\right)} \left(x - 2\right)^{2} + 5$.

Así, $h = 2$, $k = 5$, $f = \frac{21}{4}$.

El formulario estándar es $y = x^{2} - 4 x + 9$.

La forma general es $x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$.

La forma del vértice es $y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$.

La directriz es $y = d$.

Para hallar $d$, utilice el hecho de que la distancia del foco al vértice es la misma que la distancia del vértice a la directriz: $5 - \frac{21}{4} = d - 5$.

Por lo tanto, la directriz es $y = \frac{19}{4}$.

El eje de simetría es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el vértice y el foco: $x = 2$.

La distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice: $\frac{1}{4}$.

El parámetro focal es la distancia entre el foco y la directriz: $\frac{1}{2}$.

El latus rectum es paralelo a la directriz y pasa por el foco: $y = \frac{21}{4}$.

Los puntos extremos del latus rectum se pueden encontrar resolviendo el sistema $\begin{cases} x^{2} - 4 x - y + 9 = 0 \\ y = \frac{21}{4} \end{cases}$ (para los pasos, véase calculadora de sistemas de ecuaciones).

Los extremos del latus rectum son $\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right)$, $\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$.

La longitud del latus rectum (anchura focal) es cuatro veces la distancia entre el vértice y el foco: $1$.

La excentricidad de una parábola es siempre $1$.

Los interceptos x se pueden encontrar poniendo $y = 0$ en la ecuación y resolviendo para $x$ (para los pasos, ver calculadora de interceptos).

Como no hay soluciones reales, no hay intersecciones x.

Los interceptos y se pueden encontrar poniendo $x = 0$ en la ecuación y resolviendo para $y$: (para los pasos, ver calculadora de interceptos).

intersección y: $\left(0, 9\right)$.

Forma/ecuación estándar: $y = x^{2} - 4 x + 9$A.

Forma general/ecuación: $x^{2} - 4 x - y + 9 = 0$A.

Forma del vértice/ecuación: $y = \left(x - 2\right)^{2} + 5$A.

Forma/ecuación foco-directriz: $\left(x - 2\right)^{2} + \left(y - \frac{21}{4}\right)^{2} = \left(y - \frac{19}{4}\right)^{2}$A.

Gráfico: véase la calculadora gráfica.

Vértice: $\left(2, 5\right)$A.

Foco de atención: $\left(2, \frac{21}{4}\right) = \left(2, 5.25\right)$A.

Directrix: $y = \frac{19}{4} = 4.75$A.

Eje de simetría: $x = 2$A.

Latus rectum: $y = \frac{21}{4} = 5.25$A.

Puntos finales del latus rectum: $\left(\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(1.5, 5.25\right)$, $\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right) = \left(2.5, 5.25\right)$A.

Longitud del latus rectum (anchura focal): $1$A.

Parámetro focal: $\frac{1}{2} = 0.5$A.

Distancia focal: $\frac{1}{4} = 0.25$A.

Excentricidad: $1$A.

Interceptos x: sin intersecciones x.

intersección y: $\left(0, 9\right)$A.

Dominio: $\left(-\infty, \infty\right)$A.

Alcance: $\left[5, \infty\right)$A.