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Derivado de $$$e^{4 t}$$$
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Tu aportación
Encuentra $$$\frac{d}{dt} \left(e^{4 t}\right)$$$.
Solución
La función $$$e^{4 t}$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ y $$$g{\left(t \right)} = 4 t$$$.
Aplicar la regla de la cadena $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{4 t}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)}$$La derivada de la exponencial es $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Vuelva a la variable anterior:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = e^{{\color{red}\left(4 t\right)}} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Aplique la regla del múltiplo constante $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ con $$$c = 4$$$ y $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$e^{4 t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)} = e^{4 t} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, en otras palabras, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$4 e^{4 t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = 4 e^{4 t} {\color{red}\left(1\right)}$$Por lo tanto, $$$\frac{d}{dt} \left(e^{4 t}\right) = 4 e^{4 t}$$$.
Respuesta
$$$\frac{d}{dt} \left(e^{4 t}\right) = 4 e^{4 t}$$$A