Calculadora de aproximación del extremo izquierdo de una función

Aproximar una integral (dada por una función) utilizando paso a paso los puntos extremos izquierdos

Una calculadora en línea para aproximar la integral definida utilizando los puntos extremos izquierdos (la suma de Riemann izquierda), con los pasos mostrados.

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Aproximar la integral 04cos4(x)+2dx\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx con n=5n = 5 utilizando la aproximación del extremo izquierdo.

Solución

La suma de Riemann izquierda (también conocida como aproximación del extremo izquierdo) utiliza el extremo izquierdo de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo de aproximación:

abf(x)dxΔx(f(x0)+f(x1)+f(x2)++f(xn2)+f(xn1))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)

donde Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Tenemos que f(x)=cos4(x)+2f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}, a=0a = 0, b=4b = 4, y n=5n = 5.

Por lo tanto, Δx=405=45\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}.

Divida el intervalo [0,4]\left[0, 4\right] en n=5n = 5 subintervalos de la longitud Δx=45\Delta x = \frac{4}{5} con los siguientes puntos finales: a=0a = 0, 45\frac{4}{5}, 85\frac{8}{5}, 125\frac{12}{5}, 165\frac{16}{5}, 4=b4 = b.

Ahora, basta con evaluar la función en los extremos izquierdos de los subintervalos.

f(x0)=f(0)=31.732050807568877f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877

f(x1)=f(45)=cos4(45)+21.495196773630485f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485

f(x2)=f(85)=cos4(85)+21.414213819387789f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789

f(x3)=f(125)=cos4(125)+21.515144715776502f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502

f(x4)=f(165)=cos4(165)+21.730085700215823f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823

Por último, basta con sumar los valores anteriores y multiplicarlos por Δx=45\Delta x = \frac{4}{5}: 45(1.732050807568877+1.495196773630485+1.414213819387789+1.515144715776502+1.730085700215823)=6.309353453263581.\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.

Respuesta

04cos4(x)+2dx6.309353453263581\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581A