La calculadora hallará la componente normal de la aceleración para el objeto, descrito por la función vectorial, en el punto dado, con los pasos mostrados.
Calculadoras relacionadas:
Calculadora de curvatura ,
Calculadora de la componente tangencial de la aceleración
Solución Halla la derivada de r ⃗ ( t ) \mathbf{\vec{r}\left(t\right)} r ( t ) : r ⃗ ′ ( t ) = ⟨ 1 , 3 , 2 t ⟩ \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle r ′ ( t ) = ⟨ 1 , 3 , 2 t ⟩ (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas ).
Hallar la magnitud de r ⃗ ′ ( t ) \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} r ′ ( t ) : ∣ r ⃗ ′ ( t ) ∣ = 4 t 2 + 10 \mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10} ∣ r ′ ( t ) ∣ = 4 t 2 + 10 (para los pasos, ver calculadora de magnitudes ).
Halla la derivada de r ⃗ ′ ( t ) \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} r ′ ( t ) : r ⃗ ′ ′ ( t ) = ⟨ 0 , 0 , 2 ⟩ \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle r ′′ ( t ) = ⟨ 0 , 0 , 2 ⟩ (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas ).
Hallar el producto cruz: r ⃗ ′ ( t ) × r ⃗ ′ ′ ( t ) = ⟨ 6 , − 2 , 0 ⟩ \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle r ′ ( t ) × r ′′ ( t ) = ⟨ 6 , − 2 , 0 ⟩ (para los pasos, véase calculadora del producto cruz ).
Hallar la magnitud de r ⃗ ′ ( t ) × r ⃗ ′ ′ ( t ) \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} r ′ ( t ) × r ′′ ( t ) : ∣ r ⃗ ′ ( t ) × r ⃗ ′ ′ ( t ) ∣ = 2 10 \mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10} ∣ r ′ ( t ) × r ′′ ( t ) ∣ = 2 10 (para los pasos, ver calculadora de magnitudes ).
Por último, la componente normal de la aceleración es a N ( t ) = ∣ r ⃗ ′ ( t ) × r ⃗ ′ ′ ( t ) ∣ ∣ r ⃗ ′ ( t ) ∣ = 2 5 2 t 2 + 5 . a_N\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2 t^{2} + 5}}. a N ( t ) = ∣ r ′ ( t ) ∣ ∣ r ′ ( t ) × r ′′ ( t ) ∣ = 2 t 2 + 5 2 5 .
Respuesta La componente normal de la aceleración es a N ( t ) = 2 5 2 t 2 + 5 a_N\left(t\right) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2 t^{2} + 5}} a N ( t ) = 2 t 2 + 5 2 5 A .