Calculadora de la componente tangencial de la aceleración

Hallar la componente tangencial de la aceleración paso a paso

La calculadora hallará la componente tangencial de la aceleración para el objeto, descrito por la función vectorial, en el punto dado, con los pasos mostrados.

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\langle \rangle
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Hallar la componente tangencial de la aceleración para r(t)=t,t2,t3\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle.

Solución

Halla la derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=1,2t,3t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Hallar la magnitud de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=9t4+4t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1} (para los pasos, ver calculadora de magnitudes).

Halla la derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,2,6t\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle (para ver los pasos, consulta calculadora de derivadas).

Halla el producto punto: r(t)r(t)=18t3+4t\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t (para ver los pasos, consulta calculadora del producto punto).

Por último, la componente tangencial de la aceleración es aT(t)=r(t)r(t)r(t)=18t3+4t9t4+4t2+1.a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.

Respuesta

La componente tangencial de la aceleración es aT(t)=18t3+4t9t4+4t2+1a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}A.