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Calculadora de la ley de los senos

Resolver triángulos utilizando la ley de los senos

La calculadora resolverá el triángulo dado utilizando la ley de los senos (siempre que sea posible), con los pasos mostrados.

Calculadora relacionada: Calculadora de la ley de los cosenos

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Resuelve el triángulo, si b=3b = 3, A=60∘A = 60^{\circ}, B=45∘B = 45^{\circ}.

Solución

Según la ley de los senos: asin⁡(A)=bsin⁡(B)\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{b}{\sin{\left(B \right)}}.

En nuestro caso, asin⁡(60∘)=3sin⁡(45∘)\frac{a}{\sin{\left(60^{\circ} \right)}} = \frac{3}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}.

Así, a=3sin⁡(60∘)sin⁡(45∘)=362a = \frac{3 \sin{\left(60^{\circ} \right)}}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}.

El tercer ángulo es C=180∘−(A+B)C = 180^{\circ} - \left(A + B\right).

En nuestro caso, C=180∘−(60∘+45∘)=75∘C = 180^{\circ} - \left(60^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 75^{\circ}.

Según la ley de los senos: csin⁡(C)=bsin⁡(B)\frac{c}{\sin{\left(C \right)}} = \frac{b}{\sin{\left(B \right)}}.

En nuestro caso, csin⁡(75∘)=3sin⁡(45∘)\frac{c}{\sin{\left(75^{\circ} \right)}} = \frac{3}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}.

Así, c=3sin⁡(75∘)sin⁡(45∘)=3(1+3)2c = \frac{3 \sin{\left(75^{\circ} \right)}}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}} = \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}.

La zona es S=12absin⁡(C)=(12)⋅(362)⋅(3)⋅(sin⁡(75∘))=9(3+3)8.S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}\right)\cdot \left(3\right)\cdot \left(\sin{\left(75^{\circ} \right)}\right) = \frac{9 \left(\sqrt{3} + 3\right)}{8}.

El perímetro es P=a+b+c=362+3+3(1+3)2=3(3+6+3)2P = a + b + c = \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 3 + \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} = \frac{3 \left(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\right)}{2}.

Respuesta

a=362≈3.674234614174767a = \frac{3 \sqrt{6}}{2}\approx 3.674234614174767A

b=3b = 3A

c=3(1+3)2≈4.098076211353316c = \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}\approx 4.098076211353316A

A=60∘A = 60^{\circ}A

B=45∘B = 45^{\circ}A

C=75∘C = 75^{\circ}A

Zona: S=9(3+3)8≈5.323557158514987S = \frac{9 \left(\sqrt{3} + 3\right)}{8}\approx 5.323557158514987A.

Perímetro: P=3(3+6+3)2≈10.772310825528083P = \frac{3 \left(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\right)}{2}\approx 10.772310825528083A.