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Calculadora de regresión cuadrática

Encontrar parábolas de mejor ajuste paso a paso

La calculadora encontrará la cuadrática de mejor ajuste para el conjunto dado de datos emparejados utilizando el método de mínimos cuadrados, con los pasos mostrados.

Calculadora relacionada: Calculadora de regresión lineal

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Encuentre la parábola de mejor ajuste para {(1,0),(4,5),(6,2),(7,1),(3,−3)}\left\{\left(1, 0\right), \left(4, 5\right), \left(6, 2\right), \left(7, 1\right), \left(3, -3\right)\right\}.

Solución

El número de observaciones es n=5n = 5.

Genera la siguiente tabla:

xxyyxyx yx2x^{2}x2yx^{2} yx3x^{3}x4x^{4}y2y^{2}
1100001100111100
445520201616808064642562562525
66221212363672722162161296129644
771177494949493433432401240111
33−3-3−9-999−27-272727818199
∑\sum2121553030111111174174651651403540353939

La parábola de mejor ajuste es y=ax2+bx+cy = a x^{2} + b x + c.

a=(n(∑x2y)−(∑x2)(∑y))(n(∑x2)−(∑x)2)−(n(∑xy)−(∑x)(∑y))(n(∑x3)−(∑x2)(∑x)))(n(∑x4)−(∑x2)2)(n(∑x2)−(∑x)2)−(n(∑x3)−(∑x2)(∑x))2=(5⋅174−(111)⋅(5))⋅(5⋅111−212)−(5⋅30−(21)⋅(5))⋅(5⋅651−(111)⋅(21))(5⋅4035−1112)⋅(5⋅111−212)−(5⋅651−(111)⋅(21))2=−322a = \frac{(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = - \frac{3}{22}

b=(n(∑xy)−(∑x)(∑y))(n(∑x4)−(∑x2)2)−(n(∑x2y)−(∑x2)(∑y))(n(∑x3)−(∑x2)(∑x)))(n(∑x4)−(∑x2)2)(n(∑x2)−(∑x)2)−(n(∑x3)−(∑x2)(∑x))2=(5⋅30−(21)⋅(5))⋅(5⋅4035−1112)−(5⋅174−(111)⋅(5))⋅(5⋅651−(111)⋅(21))(5⋅4035−1112)⋅(5⋅111−212)−(5⋅651−(111)⋅(21))2=32b = \frac{(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)-(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right) - \left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = \frac{3}{2}

c=(∑y)−b(∑x)−a(∑x2)n=5−(32)⋅(21)−(−322)⋅(111)5=−2511c = \frac{(\sum y)-b(\sum x)-a(\sum x^2)}{n} = \frac{5 - \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \left(21\right) - \left(- \frac{3}{22}\right)\cdot \left(111\right)}{5} = - \frac{25}{11}

Así pues, la parábola de mejor ajuste es y=−3x222+3x2−2511y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}.

Respuesta

La parábola de mejor ajuste es y=−3x222+3x2−2511≈−0.136363636363636x2+1.5x−2.272727272727273.y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}\approx - 0.136363636363636 x^{2} + 1.5 x - 2.272727272727273.A