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Derivado de ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right)

La calculadora hallará la derivada de ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right), con los pasos mostrados.

Calculadora relacionada: Calculadora de derivadas

Solución

La función ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right) es la composición f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de dos funciones f(u)=ln⁡(u)f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right) y g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

Aplique la regla de la cadena ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(ln⁡(x+1)))=(ddu(ln⁡(u))ddx(x+1)){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}

La derivada del logaritmo natural es ddu(ln⁡(u))=1u\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}:

(ddu(ln⁡(u)))ddx(x+1)=(1u)ddx(x+1){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)

Volver a la antigua variable:

ddx(x+1)(u)=ddx(x+1)(x+1)\frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(x + 1\right)}}

La derivada de una suma/diferencia es la suma/diferencia de derivadas:

(ddx(x+1))x+1=(ddx(x)+ddx(1))x+1\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{x + 1}

La derivada de una constante es 00:

(ddx(1))+ddx(x)x+1=(0)+ddx(x)x+1\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{x + 1}

Aplique la regla de potencia ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} con n=1n = 1, es decir, ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

(ddx(x))x+1=(1)x+1\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x + 1}

Así, ddx(ln⁡(x+1))=1x+1\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}.

Respuesta

ddx(ln⁡(x+1))=1x+1\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}A