Dérivé de sec3(x)\sec^{3}{\left(x \right)}

La calculatrice trouvera la dérivée de sec3(x)\sec^{3}{\left(x \right)}, avec les étapes indiquées.

Calculatrices apparentées: Calculatrice de différentiation logarithmique, Calculatrice de différentiation implicite avec étapes

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Trouvez ddx(sec3(x))\frac{d}{dx} \left(\sec^{3}{\left(x \right)}\right).

Solution

La fonction sec3(x)\sec^{3}{\left(x \right)} est la composition f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de deux fonctions f(u)=u3f{\left(u \right)} = u^{3} et g(x)=sec(x)g{\left(x \right)} = \sec{\left(x \right)}.

Appliquer la règle de la chaîne ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(sec3(x)))=(ddu(u3)ddx(sec(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sec^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right)\right)}

Appliquer la règle de puissance ddu(un)=nun1\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1} avec n=3n = 3:

(ddu(u3))ddx(sec(x))=(3u2)ddx(sec(x)){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right)

Retour à l'ancienne variable :

3(u)2ddx(sec(x))=3(sec(x))2ddx(sec(x))3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) = 3 {\color{red}\left(\sec{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right)

La dérivée de la sécante est ddx(sec(x))=tan(x)sec(x)\frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right) = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}:

3sec2(x)(ddx(sec(x)))=3sec2(x)(tan(x)sec(x))3 \sec^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sec{\left(x \right)}\right)\right)} = 3 \sec^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\right)}

Ainsi, ddx(sec3(x))=3tan(x)sec3(x)\frac{d}{dx} \left(\sec^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}.

Réponse

ddx(sec3(x))=3tan(x)sec3(x)\frac{d}{dx} \left(\sec^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}A