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Dérivé de 1−x2\sqrt{1 - x^{2}}

La calculatrice trouvera la dérivée de 1−x2\sqrt{1 - x^{2}}, avec les étapes indiquées.

Calculatrices apparentées: Calculatrice de différentiation logarithmique, Calculatrice de différentiation implicite avec étapes

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Trouvez ddx(1−x2)\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right).

Solution

La fonction 1−x2\sqrt{1 - x^{2}} est la composition f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de deux fonctions f(u)=uf{\left(u \right)} = \sqrt{u} et g(x)=1−x2g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}.

Appliquer la règle de la chaîne ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(1−x2))=(ddu(u)ddx(1−x2)){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}

Appliquer la règle de puissance ddu(un)=nun−1\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1} avec n=12n = \frac{1}{2}:

(ddu(u))ddx(1−x2)=(12u)ddx(1−x2){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)

Retour à l'ancienne variable :

ddx(1−x2)2(u)=ddx(1−x2)2(1−x2)\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x^{2}\right)}}}

La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :

(ddx(1−x2))21−x2=(ddx(1)−ddx(x2))21−x2\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

La dérivée d'une constante est 00:

(ddx(1))−ddx(x2)21−x2=(0)−ddx(x2)21−x2\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Appliquer la règle de puissance ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} avec n=2n = 2:

−(ddx(x2))21−x2=−(2x)21−x2- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{{\color{red}\left(2 x\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Ainsi, ddx(1−x2)=−x1−x2\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Réponse

ddx(1−x2)=−x1−x2\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}A

Notes annexes: Definition of Derivative , Derivatives of Elementary Functions , Table of Derivatives , Related Rates , Studying Derivative Graphically , Optimization Problems , Applications to Economics , Constant Multiple Rule , Sum and Difference Rules , Product Rule , Quotient Rule , Chain Rule , Derivative of Inverse Function