Dérivé de tan(x/2 + pi/4)

La calculatrice trouvera la dérivée de

\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}

, avec les étapes indiquées.

Calculatrices apparentées: Calculatrice de différentiation logarithmique, Calculatrice de différentiation implicite avec étapes

Votre contribution

Trouvez $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)$ .

Solution

La fonction $\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ est la composition $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ de deux fonctions $f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$ et $g{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .

Appliquer la règle de la chaîne $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right)}

La dérivée de la tangente est $\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)

Retour à l'ancienne variable :

\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)

La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :

\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}

La dérivée d'une constante est $0$ :

\left({\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right) \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \left({\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right) \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}

Appliquer la règle du multiple constant $\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$ avec $c = \frac{1}{2}$ et $f{\left(x \right)} = x$ :

\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x\right)}{2}\right)}

Appliquer la règle de puissance $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ avec $n = 1$ , c'est-à-dire $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}

Simplifier :

\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}

Ainsi, $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}$ .

Réponse

$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}$ A

Dérivé de tan⁡(x2+π4)\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}tan(2x​+4π​)

Votre contribution

Solution

Réponse

Dérivé de $\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$