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Calculatrice de la dérivée seconde

Calculer les dérivées secondes pas à pas

Cette calculatrice permet de trouver la dérivée seconde de n'importe quelle fonction, avec les étapes indiquées. Elle évalue également la dérivée seconde au point donné si nécessaire.

Calculatrices apparentées: Calculateur de dérivées, Calculatrice de différentiation logarithmique

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Trouvez d2dx2(sin⁡(5x))\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right).

Solution

Trouver la dérivée première ddx(sin⁡(5x))\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)

La fonction sin⁡(5x)\sin{\left(5 x \right)} est la composition f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de deux fonctions f(u)=sin⁡(u)f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} et g(x)=5xg{\left(x \right)} = 5 x.

Appliquer la règle de la chaîne ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(sin⁡(5x)))=(ddu(sin⁡(u))ddx(5x)){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}

La dérivée du sinus est ddu(sin⁡(u))=cos⁡(u)\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}:

(ddu(sin⁡(u)))ddx(5x)=(cos⁡(u))ddx(5x){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)

Retour à l'ancienne variable :

cos⁡((u))ddx(5x)=cos⁡((5x))ddx(5x)\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = \cos{\left({\color{red}\left(5 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)

Appliquer la règle du multiple constant ddx(cf(x))=cddx(f(x))\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) avec c=5c = 5 et f(x)=xf{\left(x \right)} = x:

cos⁡(5x)(ddx(5x))=cos⁡(5x)(5ddx(x))\cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)} = \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}

Appliquer la règle de puissance ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} avec n=1n = 1, c'est-à-dire ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

5cos⁡(5x)(ddx(x))=5cos⁡(5x)(1)5 \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 5 \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}

Ainsi, ddx(sin⁡(5x))=5cos⁡(5x)\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = 5 \cos{\left(5 x \right)}.

Suivant, d2dx2(sin⁡(5x))=ddx(5cos⁡(5x))\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right)

Appliquer la règle du multiple constant ddx(cf(x))=cddx(f(x))\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) avec c=5c = 5 et f(x)=cos⁡(5x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}:

(ddx(5cos⁡(5x)))=(5ddx(cos⁡(5x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(5 x \right)}\right)\right)}

La fonction cos⁡(5x)\cos{\left(5 x \right)} est la composition f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de deux fonctions f(u)=cos⁡(u)f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} et g(x)=5xg{\left(x \right)} = 5 x.

Appliquer la règle de la chaîne ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

5(ddx(cos⁡(5x)))=5(ddu(cos⁡(u))ddx(5x))5 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(5 x \right)}\right)\right)} = 5 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}

La dérivée du cosinus est ddu(cos⁡(u))=−sin⁡(u)\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}:

5(ddu(cos⁡(u)))ddx(5x)=5(−sin⁡(u))ddx(5x)5 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = 5 {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)

Retour à l'ancienne variable :

−5sin⁡((u))ddx(5x)=−5sin⁡((5x))ddx(5x)- 5 \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = - 5 \sin{\left({\color{red}\left(5 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)

Appliquer la règle du multiple constant ddx(cf(x))=cddx(f(x))\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) avec c=5c = 5 et f(x)=xf{\left(x \right)} = x:

−5sin⁡(5x)(ddx(5x))=−5sin⁡(5x)(5ddx(x))- 5 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)} = - 5 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}

Appliquer la règle de puissance ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} avec n=1n = 1, c'est-à-dire ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

−25sin⁡(5x)(ddx(x))=−25sin⁡(5x)(1)- 25 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 25 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}

Ainsi, ddx(5cos⁡(5x))=−25sin⁡(5x)\frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}.

Par conséquent, d2dx2(sin⁡(5x))=−25sin⁡(5x)\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}.

Réponse

d2dx2(sin⁡(5x))=−25sin⁡(5x)\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}A