Solution
Trouver la dérivée première dxd(sin(5x))
La fonction sin(5x) est la composition f(g(x)) de deux fonctions f(u)=sin(u) et g(x)=5x.
Appliquer la règle de la chaîne dxd(f(g(x)))=dud(f(u))dxd(g(x)):
(dxd(sin(5x)))=(dud(sin(u))dxd(5x))La dérivée du sinus est dud(sin(u))=cos(u):
(dud(sin(u)))dxd(5x)=(cos(u))dxd(5x)Retour à l'ancienne variable :
cos((u))dxd(5x)=cos((5x))dxd(5x)Appliquer la règle du multiple constant dxd(cf(x))=cdxd(f(x)) avec c=5 et f(x)=x:
cos(5x)(dxd(5x))=cos(5x)(5dxd(x))Appliquer la règle de puissance dxd(xn)=nxn−1 avec n=1, c'est-à-dire dxd(x)=1:
5cos(5x)(dxd(x))=5cos(5x)(1)Ainsi, dxd(sin(5x))=5cos(5x).
Suivant, dx2d2(sin(5x))=dxd(5cos(5x))
Appliquer la règle du multiple constant dxd(cf(x))=cdxd(f(x)) avec c=5 et f(x)=cos(5x):
(dxd(5cos(5x)))=(5dxd(cos(5x)))La fonction cos(5x) est la composition f(g(x)) de deux fonctions f(u)=cos(u) et g(x)=5x.
Appliquer la règle de la chaîne dxd(f(g(x)))=dud(f(u))dxd(g(x)):
5(dxd(cos(5x)))=5(dud(cos(u))dxd(5x))La dérivée du cosinus est dud(cos(u))=−sin(u):
5(dud(cos(u)))dxd(5x)=5(−sin(u))dxd(5x)Retour à l'ancienne variable :
−5sin((u))dxd(5x)=−5sin((5x))dxd(5x)Appliquer la règle du multiple constant dxd(cf(x))=cdxd(f(x)) avec c=5 et f(x)=x:
−5sin(5x)(dxd(5x))=−5sin(5x)(5dxd(x))Appliquer la règle de puissance dxd(xn)=nxn−1 avec n=1, c'est-à-dire dxd(x)=1:
−25sin(5x)(dxd(x))=−25sin(5x)(1)Ainsi, dxd(5cos(5x))=−25sin(5x).
Par conséquent, dx2d2(sin(5x))=−25sin(5x).