Calculatrice intégrale

Trouver des intégrales indéfinies (anti-dérivées) pas à pas

Cette calculatrice en ligne essaiera de trouver l'intégrale indéfinie (antidérivée) de la fonction donnée, avec les étapes indiquées. Différentes techniques sont utilisées : intégration par substitution, intégration par parties, intégration par fractions partielles, substitutions trigonométriques, etc.

Calculatrice associée: Calculatrice d'intégrales définies et impropres

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Trouvez xcos(x2)dx\int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx.

Solution

Let u=x2u=x^{2}.

Then du=(x2)dx=2xdxdu=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx (steps can be seen here), and we have that xdx=du2x dx = \frac{du}{2}.

Therefore,

xcos(x2)dx=cos(u)2du{\color{red}{\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}

Apply the constant multiple rule cf(u)du=cf(u)du\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du with c=12c=\frac{1}{2} and f(u)=cos(u)f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}:

cos(u)2du=(cos(u)du2){\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}

The integral of the cosine is cos(u)du=sin(u)\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}:

cos(u)du2=sin(u)2\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}

Recall that u=x2u=x^{2}:

sin(u)2=sin(x2)2\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x^{2}}} \right)}}{2}

Therefore,

xcos(x2)dx=sin(x2)2\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}

Add the constant of integration:

xcos(x2)dx=sin(x2)2+C\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}+C

Answer: xcos(x2)dx=sin(x2)2+C\int{x \cos{\left(x^{2} \right)} d x}=\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}+C