Intégrale de csc(x)\csc{\left(x \right)}

La calculatrice trouvera l'intégrale/antidérivée de csc(x)\csc{\left(x \right)}, avec les étapes indiquées.

Calculatrice associée: Calculatrice d'intégrales définies et impropres

Veuillez écrire sans différentiation telle que dxdx, dydy etc.
Laisser vide pour l'autodétection.

Si la calculatrice n'a pas calculé quelque chose, si vous avez identifié une erreur ou si vous avez une suggestion ou un retour d'information, veuillez nous contacter.

Votre contribution

Trouvez csc(x)dx\int \csc{\left(x \right)}\, dx.

Solution

Rewrite the cosecant as csc(x)=1sin(x)\csc\left(x\right)=\frac{1}{\sin\left(x\right)}:

csc(x)dx=1sin(x)dx{\color{red}{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}}

Rewrite the sine using the double angle formula sin(x)=2sin(x2)cos(x2)\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right):

1sin(x)dx=12sin(x2)cos(x2)dx{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}

Multiply the numerator and denominator by sec2(x2)\sec^2\left(\frac{x}{2} \right):

12sin(x2)cos(x2)dx=sec2(x2)2tan(x2)dx{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}

Let u=tan(x2)u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}.

Then du=(tan(x2))dx=sec2(x2)2dxdu=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx (steps can be seen »), and we have that sec2(x2)dx=2du\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du.

The integral can be rewritten as

sec2(x2)2tan(x2)dx=1udu{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}

The integral of 1u\frac{1}{u} is 1udu=ln(u)\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}:

1udu=ln(u){\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}

Recall that u=tan(x2)u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}:

ln(u)=ln(tan(x2))\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}

C'est pourquoi,

csc(x)dx=ln(tan(x2))\int{\csc{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}

Ajouter la constante d'intégration :

csc(x)dx=ln(tan(x2))+C\int{\csc{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C

Answer: csc(x)dx=ln(tan(x2))+C\int{\csc{\left(x \right)} d x}=\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C