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Calculateur d'approximation du point final gauche pour une fonction

Approximation d'une intégrale (donnée par une fonction) à l'aide des extrémités gauches, étape par étape

Une calculatrice en ligne pour l'approximation de l'intégrale définie à l'aide des extrémités gauches (la somme de Riemann gauche), avec des étapes montrées.

Calculatrice associée: Calculateur d'approximation du point final gauche pour un tableau

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Approcher l'intégrale ∫04cos⁡4(x)+2 dx\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx avec n=5n = 5 en utilisant l'approximation de l'extrémité gauche.

Solution

La somme de Riemann gauche (également connue sous le nom d'approximation de l'extrémité gauche) utilise l'extrémité gauche d'un sous-intervalle pour calculer la hauteur du rectangle d'approximation :

∫abf(x) dx≈Δx(f(x0)+f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn−2)+f(xn−1))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)

où Δx=b−an\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Nous avons que f(x)=cos⁡4(x)+2f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}, a=0a = 0, b=4b = 4, et n=5n = 5.

Par conséquent, Δx=4−05=45\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}.

Diviser l'intervalle [0,4]\left[0, 4\right] en n=5n = 5 sous-intervalles de longueur Δx=45\Delta x = \frac{4}{5} avec les extrémités suivantes : a=0a = 0, 45\frac{4}{5}, 85\frac{8}{5}, 125\frac{12}{5}, 165\frac{16}{5}, 4=b4 = b.

Il suffit maintenant d'évaluer la fonction aux extrémités gauches des sous-intervalles.

f(x0)=f(0)=3≈1.732050807568877f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877

f(x1)=f(45)=cos⁡4(45)+2≈1.495196773630485f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485

f(x2)=f(85)=cos⁡4(85)+2≈1.414213819387789f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789

f(x3)=f(125)=cos⁡4(125)+2≈1.515144715776502f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502

f(x4)=f(165)=cos⁡4(165)+2≈1.730085700215823f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823

Enfin, il suffit d'additionner les valeurs ci-dessus et de les multiplier par Δx=45\Delta x = \frac{4}{5}: 45(1.732050807568877+1.495196773630485+1.414213819387789+1.515144715776502+1.730085700215823)=6.309353453263581.\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.

Réponse

∫04cos⁡4(x)+2 dx≈6.309353453263581\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581A