Calculatrice de la règle du point médian pour une fonction

Approximer une intégrale (donnée par une fonction) à l'aide de la règle du point milieu, étape par étape

Une calculatrice en ligne pour l'approximation de l'intégrale définie à l'aide de la règle du point milieu (coordonnée moyenne), avec des étapes illustrées.

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Approchez l'intégrale 13sin4(x)+7dx\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx avec n=4n = 4 en utilisant la règle du point milieu.

Solution

La règle du point médian (également connue sous le nom d'approximation du point médian) utilise le point médian d'un sous-intervalle pour calculer la hauteur du rectangle d'approximation :

abf(x)dxΔx(f(x0+x12)+f(x1+x22)+f(x2+x32)++f(xn2+xn12)+f(xn1+xn2))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)

Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Nous avons que f(x)=sin4(x)+7f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}, a=1a = 1, b=3b = 3, et n=4n = 4.

Par conséquent, Δx=314=12\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.

Diviser l'intervalle [1,3]\left[1, 3\right] en n=4n = 4 sous-intervalles de longueur Δx=12\Delta x = \frac{1}{2} avec les extrémités suivantes : a=1a = 1, 32\frac{3}{2}, 22, 52\frac{5}{2}, 3=b3 = b.

Il suffit maintenant d'évaluer la fonction aux points médians des sous-intervalles.

f(x0+x12)=f(1+322)=f(54)=sin4(54)+72.794821922941848f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848

f(x1+x22)=f(32+22)=f(74)=sin4(74)+72.817350905627184f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184

f(x2+x32)=f(2+522)=f(94)=sin4(94)+72.714130913751178f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178

f(x3+x42)=f(52+32)=f(114)=sin4(114)+72.649758163512828f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828

Enfin, il suffit d'additionner les valeurs ci-dessus et de les multiplier par Δx=12\Delta x = \frac{1}{2}: 12(2.794821922941848+2.817350905627184+2.714130913751178+2.649758163512828)=5.488030952916519.\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.

Réponse

13sin4(x)+7dx5.488030952916519\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519A