Calculatrice de la somme de Riemann pour une fonction

Approximer l'intégrale $\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$ avec $n = 4$ en utilisant la somme de Riemann gauche.

La somme de Riemann gauche (également connue sous le nom d'approximation de l'extrémité gauche) utilise l'extrémité gauche d'un sous-intervalle pour calculer la hauteur du rectangle d'approximation :

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$

où $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Nous avons que $f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$, $a = 0$, $b = 2$, et $n = 4$.

Par conséquent, $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$.

Diviser l'intervalle $\left[0, 2\right]$ en $n = 4$ sous-intervalles de longueur $\Delta x = \frac{1}{2}$ avec les extrémités suivantes : $a = 0$, $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $2 = b$.

Il suffit maintenant d'évaluer la fonction aux extrémités gauches des sous-intervalles.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$

$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$

$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$

$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$

Enfin, il suffit d'additionner les valeurs ci-dessus et de les multiplier par $\Delta x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$

$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$A