Calculatrice de la règle des 3/8 de Simpson pour une fonction

Approximer une intégrale (donnée par une fonction) en utilisant la règle des 3/8 de Simpson pas à pas

Une calculatrice en ligne pour l'approximation d'une intégrale définie en utilisant la règle des 3/8 de Simpson, avec des étapes montrées.

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Votre contribution

Approchez l'intégrale 03x3+5dx\int\limits_{0}^{3} \sqrt{x^{3} + 5}\, dx avec n=6n = 6 en utilisant la règle des 3/8 de Simpson.

Solution

La règle des 3/8 de Simpson utilise des polynômes cubiques pour estimer la surface :

abf(x)dx3Δx8(f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+2f(x3)+3f(x4)+3f(x5)+2f(x6)++3f(xn5)+3f(xn4)+2f(xn3)+3f(xn2)+3f(xn1)+f(xn))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{3 \Delta x}{8} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 3 f{\left(x_{1} \right)} + 3 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)} + 3 f{\left(x_{4} \right)} + 3 f{\left(x_{5} \right)} + 2 f{\left(x_{6} \right)}+\dots+3 f{\left(x_{n-5} \right)} + 3 f{\left(x_{n-4} \right)} + 2 f{\left(x_{n-3} \right)} + 3 f{\left(x_{n-2} \right)} + 3 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)

Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Nous avons que f(x)=x3+5f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 5}, a=0a = 0, b=3b = 3, et n=6n = 6.

Par conséquent, Δx=306=12\Delta x = \frac{3 - 0}{6} = \frac{1}{2}.

Diviser l'intervalle [0,3]\left[0, 3\right] en n=6n = 6 sous-intervalles de longueur Δx=12\Delta x = \frac{1}{2} avec les extrémités suivantes : a=0a = 0, 12\frac{1}{2}, 11, 32\frac{3}{2}, 22, 52\frac{5}{2}, 3=b3 = b.

Il suffit maintenant d'évaluer la fonction à ces extrémités.

f(x0)=f(0)=52.23606797749979f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{5}\approx 2.23606797749979

3f(x1)=3f(12)=38246.7915388536030623 f{\left(x_{1} \right)} = 3 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{3 \sqrt{82}}{4}\approx 6.791538853603062

3f(x2)=3f(1)=367.3484692283495343 f{\left(x_{2} \right)} = 3 f{\left(1 \right)} = 3 \sqrt{6}\approx 7.348469228349534

2f(x3)=2f(32)=13425.7879184513951132 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{\sqrt{134}}{2}\approx 5.787918451395113

3f(x4)=3f(2)=31310.8166538263919683 f{\left(x_{4} \right)} = 3 f{\left(2 \right)} = 3 \sqrt{13}\approx 10.816653826391968

3f(x5)=3f(52)=3330413.6244265934387123 f{\left(x_{5} \right)} = 3 f{\left(\frac{5}{2} \right)} = \frac{3 \sqrt{330}}{4}\approx 13.624426593438712

f(x6)=f(3)=425.65685424949238f{\left(x_{6} \right)} = f{\left(3 \right)} = 4 \sqrt{2}\approx 5.65685424949238

Enfin, il suffit d'additionner les valeurs ci-dessus et de les multiplier par 3Δx8=316\frac{3 \Delta x}{8} = \frac{3}{16}: 316(2.23606797749979+6.791538853603062+7.348469228349534+5.787918451395113+10.816653826391968+13.624426593438712+5.65685424949238)=9.79911172128198.\frac{3}{16} \left(2.23606797749979 + 6.791538853603062 + 7.348469228349534 + 5.787918451395113 + 10.816653826391968 + 13.624426593438712 + 5.65685424949238\right) = 9.79911172128198.

Réponse

03x3+5dx9.79911172128198\int\limits_{0}^{3} \sqrt{x^{3} + 5}\, dx\approx 9.79911172128198A