Calculatrice de la règle de Simpson pour une fonction

Approchez l'intégrale $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$ avec $n = 4$ en utilisant la règle de Simpson.

La règle des 1/3 de Simpson (également connue sous le nom de règle parabolique) utilise des paraboles pour calculer approximativement la surface :

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$

où $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Nous avons que $f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$, $a = 0$, $b = 1$, et $n = 4$.

Par conséquent, $\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$.

Diviser l'intervalle $\left[0, 1\right]$ en $n = 4$ sous-intervalles de longueur $\Delta x = \frac{1}{4}$ avec les extrémités suivantes : $a = 0$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $1 = b$.

Il suffit maintenant d'évaluer la fonction à ces extrémités.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$

$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$

$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$

$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$

$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$

Enfin, il suffit d'additionner les valeurs ci-dessus et de les multiplier par $\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$: $\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.$

$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$A