Calculatrice de la règle de Simpson pour une fonction

Approximer une intégrale (donnée par une fonction) en utilisant la règle de Simpson pas à pas

Calculatrice en ligne pour l'approximation d'une intégrale définie à l'aide de la règle des 1/3 de Simpson (parabolique), avec indication des étapes.

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Votre contribution

Approchez l'intégrale 011x5+73dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx avec n=4n = 4 en utilisant la règle de Simpson.

Solution

La règle des 1/3 de Simpson (également connue sous le nom de règle parabolique) utilise des paraboles pour calculer approximativement la surface :

abf(x)dxΔx3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)++4f(xn3)+2f(xn2)+4f(xn1)+f(xn))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)

Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Nous avons que f(x)=1x5+73f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}, a=0a = 0, b=1b = 1, et n=4n = 4.

Par conséquent, Δx=104=14\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}.

Diviser l'intervalle [0,1]\left[0, 1\right] en n=4n = 4 sous-intervalles de longueur Δx=14\Delta x = \frac{1}{4} avec les extrémités suivantes : a=0a = 0, 14\frac{1}{4}, 12\frac{1}{2}, 34\frac{3}{4}, 1=b1 = b.

Il suffit maintenant d'évaluer la fonction à ces extrémités.

f(x0)=f(0)=72370.52275795857471f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471

4f(x1)=4f(14)=322371692371692.090934604138084 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808

2f(x2)=2f(12)=4153223151.0439647043116972 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697

4f(x3)=4f(34)=322374112374112.0679230422383554 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355

f(x4)=f(1)=12=0.5f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5

Enfin, il suffit d'additionner les valeurs ci-dessus et de les multiplier par Δx3=112\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}: 112(0.52275795857471+2.09093460413808+1.043964704311697+2.067923042238355+0.5)=0.518798359105237.\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.

Réponse

011x5+73dx0.518798359105237\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237A