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Calculateur de boucles

Calculer la courbure pas à pas

La calculatrice trouvera la courbure du champ vectoriel donné, avec les étapes indiquées.

Calculatrices apparentées: Calculatrice de dérivées partielles, Calculateur de produits croisés, Calculatrice de déterminants de matrices

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
((
,
,
))
Laisser vide, si vous n'avez pas besoin d'une boucle à un endroit précis.

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Calculer curl⁡⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle.

Solution

Par définition, curl⁡⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩=∇×⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \nabla\times \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle, ou, de manière équivalente, curl⁡⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zcos⁡(xy)exyzsin⁡(xy)∣\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\cos{\left(x y \right)} & e^{x y z} & \sin{\left(x y \right)}\end{array}\right|, où ×\times est l'opérateur de produit croisé.

Ainsi, curl⁡⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩=⟨∂∂y(sin⁡(xy))−∂∂z(exyz),∂∂z(cos⁡(xy))−∂∂x(sin⁡(xy)),∂∂x(exyz)−∂∂y(cos⁡(xy))⟩.\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)\right\rangle.

Trouver les dérivées partielles :

∂∂y(sin⁡(xy))=xcos⁡(xy)\frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

∂∂z(exyz)=xyexyz\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

∂∂z(cos⁡(xy))=0\frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = 0 (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

∂∂x(sin⁡(xy))=ycos⁡(xy)\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

∂∂x(exyz)=yzexyz\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) = y z e^{x y z} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

∂∂y(cos⁡(xy))=−xsin⁡(xy)\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Il suffit maintenant d'introduire les dérivées partielles trouvées pour obtenir le curl : curl⁡⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩=⟨x(−yexyz+cos⁡(xy)),−ycos⁡(xy),xsin⁡(xy)+yzexyz⟩.\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangle.

Réponse

curl⁡⟨cos⁡(xy),exyz,sin⁡(xy)⟩=⟨x(−yexyz+cos⁡(xy)),−ycos⁡(xy),xsin⁡(xy)+yzexyz⟩\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangleA