Calculateur de boucles

Calculer la courbure pas à pas

La calculatrice trouvera la courbure du champ vectoriel donné, avec les étapes indiquées.

Calculatrices apparentées: Calculatrice de dérivées partielles, Calculateur de produits croisés, Calculatrice de déterminants de matrices

\langle
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((
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Calculer curlcos(xy),exyz,sin(xy)\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle.

Solution

Par définition, curlcos(xy),exyz,sin(xy)=×cos(xy),exyz,sin(xy)\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \nabla\times \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle, ou, de manière équivalente, curlcos(xy),exyz,sin(xy)=ijkxyzcos(xy)exyzsin(xy)\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\cos{\left(x y \right)} & e^{x y z} & \sin{\left(x y \right)}\end{array}\right|, où ×\times est l'opérateur de produit croisé.

Ainsi, curlcos(xy),exyz,sin(xy)=y(sin(xy))z(exyz),z(cos(xy))x(sin(xy)),x(exyz)y(cos(xy)).\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)\right\rangle.

Trouver les dérivées partielles :

y(sin(xy))=xcos(xy)\frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

z(exyz)=xyexyz\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

z(cos(xy))=0\frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = 0 (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

x(sin(xy))=ycos(xy)\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

x(exyz)=yzexyz\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) = y z e^{x y z} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

y(cos(xy))=xsin(xy)\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)} (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées).

Il suffit maintenant d'introduire les dérivées partielles trouvées pour obtenir le curl : curlcos(xy),exyz,sin(xy)=x(yexyz+cos(xy)),ycos(xy),xsin(xy)+yzexyz.\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangle.

Réponse

curlcos(xy),exyz,sin(xy)=x(yexyz+cos(xy)),ycos(xy),xsin(xy)+yzexyz\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangleA