English | Deutsch | Español | Português | Italiano | Polski | Українська
  1. Accueil
  2. Calculatrices
  3. Calculatrices: Calcul III
  4. Calculatrice de calcul

Calculateur de jacobien

Calculer le jacobien pas à pas

La calculatrice trouvera la matrice jacobienne de l'ensemble des fonctions et le déterminant jacobien (si possible), avec les étapes indiquées.

Séparés par des virgules.
Laisser vide pour l'autodétection ou spécifier des variables comme x,y (séparées par des virgules).

Si la calculatrice n'a pas calculé quelque chose, si vous avez identifié une erreur ou si vous avez une suggestion ou un retour d'information, veuillez nous contacter.

Votre contribution

Calculer le jacobien de {x=rcos⁡(θ),y=rsin⁡(θ)}\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}.

Solution

La matrice jacobienne est définie comme suit : J(x,y)(r,θ)=[∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ].J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].

Dans notre cas, J(x,y)(r,θ)=[∂∂r(rcos⁡(θ))∂∂θ(rcos⁡(θ))∂∂r(rsin⁡(θ))∂∂θ(rsin⁡(θ))].J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].

Trouver les dérivées (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées) : J(x,y)(r,θ)=[cos⁡(θ)−rsin⁡(θ)sin⁡(θ)rcos⁡(θ)].J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].

Le déterminant jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne : ∣cos⁡(θ)−rsin⁡(θ)sin⁡(θ)rcos⁡(θ)∣=r\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r (pour les étapes, voir calculateur de déterminants).

Réponse

La matrice jacobienne est [cos⁡(θ)−rsin⁡(θ)sin⁡(θ)rcos⁡(θ)]\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]A.

Le déterminant du jacobien est rrA.