Calculatrice des multiplicateurs de Lagrange

Trouver les valeurs maximale et minimale de $f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$ sous la contrainte $x^{2} + y^{2} = 25$.

Attention ! Cette calculatrice ne vérifie pas les conditions d'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Utilisez-la à vos risques et périls : la réponse peut être incorrecte.

Réécrire la contrainte $x^{2} + y^{2} = 25$ comme $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$.

Formez le lagrangien : $L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$.

Trouvez toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

Résolvez ensuite le système $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$, ou $\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$.

Le système a les solutions réelles suivantes : $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$, $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$.

$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$

$f{\left(3,4 \right)} = 25$

Ainsi, la valeur minimale est $-25$, et la valeur maximale est $25$.

Maximum

$25$A à l'adresse $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$A.

Minimum

$-25$A à l'adresse $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$A.