Calculatrice des multiplicateurs de Lagrange

Appliquer la méthode des multiplicateurs de Lagrange pas à pas

La calculatrice tentera de trouver les maxima et minima de la fonction à deux ou trois variables, sous réserve des contraintes données, en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, avec les étapes indiquées.

Calculatrice associée: Calculatrice de points critiques, d'extrema et de points de selle

En option.

Si la calculatrice n'a pas calculé quelque chose, si vous avez identifié une erreur ou si vous avez une suggestion ou un retour d'information, veuillez nous contacter.

Votre contribution

Trouver les valeurs maximale et minimale de f(x,y)=3x+4yf{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y sous la contrainte x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25.

Solution

Attention ! Cette calculatrice ne vérifie pas les conditions d'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Utilisez-la à vos risques et périls : la réponse peut être incorrecte.

Réécrire la contrainte x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 comme x2+y225=0x^{2} + y^{2} - 25 = 0.

Formez le lagrangien : L(x,y,λ)=(3x+4y)+λ(x2+y225)L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right).

Trouvez toutes les dérivées partielles du premier ordre :

x((3x+4y)+λ(x2+y225))=2λx+3\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3 (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

y((3x+4y)+λ(x2+y225))=2λy+4\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4 (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

λ((3x+4y)+λ(x2+y225))=x2+y225\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25 (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

Résolvez ensuite le système {Lx=0Ly=0Lλ=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}, ou {2λx+3=02λy+4=0x2+y225=0\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}.

Le système a les solutions réelles suivantes : (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right), (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(3, 4\right).

f(3,4)=25f{\left(-3,-4 \right)} = -25

f(3,4)=25f{\left(3,4 \right)} = 25

Ainsi, la valeur minimale est 25-25, et la valeur maximale est 2525.

Réponse

Maximum

2525A à l'adresse (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)A.

Minimum

25-25A à l'adresse (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)A.