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Calculatrice de plans tangents

Trouver des plans tangents pas à pas

La calculatrice essaiera de trouver le plan tangent à la courbe explicite et à la courbe implicite au point donné, avec les étapes indiquées.

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Si la calculatrice n'a pas calculé quelque chose, si vous avez identifié une erreur ou si vous avez une suggestion ou un retour d'information, veuillez nous contacter.

Votre contribution

Calculer le plan tangent à x2+y2+z2=14x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 à (x,y,z)=(1,3,2)\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right).

Solution

La fonction peut être représentée sous la forme F(x,y,z)=0F{\left(x,y,z \right)} = 0, où F(x,y,z)=x2+y2+z2−14F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14.

Trouver les dérivées partielles.

∂∂x(F(x,y,z))=∂∂x(x2+y2+z2−14)=2x\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

∂∂y(F(x,y,z))=∂∂y(x2+y2+z2−14)=2y\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

∂∂z(F(x,y,z))=∂∂z(x2+y2+z2−14)=2z\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

Evaluez les dérivées au point donné.

∂∂x(x2+y2+z2−14)∣((x,y,z)=(1,3,2))=(2x)∣((x,y,z)=(1,3,2))=2\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2

∂∂y(x2+y2+z2−14)∣((x,y,z)=(1,3,2))=(2y)∣((x,y,z)=(1,3,2))=6\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6

∂∂z(x2+y2+z2−14)∣((x,y,z)=(1,3,2))=(2z)∣((x,y,z)=(1,3,2))=4\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4

L'équation du plan tangent est ∂∂x(F(x,y,z))∣((x,y,z)=(x0,y0,z0))(x−x0)+∂∂y(F(x,y,z))∣((x,y,z)=(x0,y0,z0))(y−y0)+∂∂z(F(x,y,z))∣((x,y,z)=(x0,y0,z0))(z−z0)=0.\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.

Dans notre cas, 2(x−1)+6(y−3)+4(z−2)=02 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0.

Ceci peut être réécrit comme 2x+6y+4z=282 x + 6 y + 4 z = 28.

Ou, plus simplement : z=−x2−3y2+7z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7.

Réponse

L'équation du plan tangent est z=−x2−3y2+7=−0.5x−1.5y+7z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7A.