Calculatrice de plans tangents

Trouver des plans tangents pas à pas

La calculatrice essaiera de trouver le plan tangent à la courbe explicite et à la courbe implicite au point donné, avec les étapes indiquées.

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Calculer le plan tangent à x2+y2+z2=14x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 à (x,y,z)=(1,3,2)\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right).

Solution

La fonction peut être représentée sous la forme F(x,y,z)=0F{\left(x,y,z \right)} = 0, où F(x,y,z)=x2+y2+z214F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14.

Trouver les dérivées partielles.

x(F(x,y,z))=x(x2+y2+z214)=2x\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

y(F(x,y,z))=y(x2+y2+z214)=2y\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

z(F(x,y,z))=z(x2+y2+z214)=2z\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées partielles).

Evaluez les dérivées au point donné.

x(x2+y2+z214)((x,y,z)=(1,3,2))=(2x)((x,y,z)=(1,3,2))=2\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2

y(x2+y2+z214)((x,y,z)=(1,3,2))=(2y)((x,y,z)=(1,3,2))=6\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6

z(x2+y2+z214)((x,y,z)=(1,3,2))=(2z)((x,y,z)=(1,3,2))=4\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4

L'équation du plan tangent est x(F(x,y,z))((x,y,z)=(x0,y0,z0))(xx0)+y(F(x,y,z))((x,y,z)=(x0,y0,z0))(yy0)+z(F(x,y,z))((x,y,z)=(x0,y0,z0))(zz0)=0.\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.

Dans notre cas, 2(x1)+6(y3)+4(z2)=02 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0.

Ceci peut être réécrit comme 2x+6y+4z=282 x + 6 y + 4 z = 28.

Ou, plus simplement : z=x23y2+7z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7.

Réponse

L'équation du plan tangent est z=x23y2+7=0.5x1.5y+7z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7A.