Calculatrice de triangles

Résoudre le triangle, si $a = 9$, $b = 9 \sqrt{2}$, $C = 45^{\circ}$.

Selon la loi des cosinus : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$.

Dans notre cas, $c^{2} = 9^{2} + \left(9 \sqrt{2}\right)^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\cos{\left(45^{\circ} \right)}\right) = 81.$

Ainsi, $c = 9$.

Selon la loi des sinus : $\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$.

Dans notre cas, $\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{9}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$.

Ainsi, $\sin{\left(A \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Deux cas sont possibles :

1. $A = 45^{\circ}$

   Le troisième angle est $B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$.

   Dans notre cas, $B = 180^{\circ} - \left(45^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 90^{\circ}$.

   La zone est $S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\sin{\left(45^{\circ} \right)}\right) = \frac{81}{2}.$

   Le périmètre est $P = a + b + c = 9 + 9 \sqrt{2} + 9 = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)$.

2. $A = 135^{\circ}$

   Le troisième angle est $B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$.

   Dans notre cas, $B = 180^{\circ} - \left(135^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 0^{\circ}$.

   Ce cas est impossible, puisque l'angle n'est pas positif.

$a = 9$A

$b = 9 \sqrt{2}\approx 12.727922061357855$A

$c = 9$A

$A = 45^{\circ}$A

$B = 90^{\circ}$A

$C = 45^{\circ}$A

Zone : $S = \frac{81}{2} = 40.5$A.

Périmètre : $P = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)\approx 30.727922061357855$A.