Cette calculatrice orthonormalisera l'ensemble des vecteurs, c'est-à-dire qu'elle trouvera la base orthonormée, en utilisant le processus de Gram-Schmidt, avec les étapes indiquées.
Solution Selon le processus de Gram-Schmidt, u k ⃗ = v k ⃗ − ∑ j = 1 k − 1 proj u j ⃗ ( v k ⃗ ) \mathbf{\vec{u_{k}}} = \mathbf{\vec{v_{k}}} - \sum_{j=1}^{k - 1} \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{j}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{k}}}\right) u k = v k − ∑ j = 1 k − 1 proj u j ( v k ) proj u j ⃗ ( v k ⃗ ) = u j ⃗ ⋅ v k ⃗ ∣ u j ⃗ ∣ 2 u j ⃗ \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{j}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{k}}}\right) = \frac{\mathbf{\vec{u_{j}}}\cdot \mathbf{\vec{v_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{j}}\right\rvert}^{2}} \mathbf{\vec{u_{j}}} proj u j ( v k ) = ∣ u j ∣ 2 u j ⋅ v k u j
Le vecteur normalisé est e k ⃗ = u k ⃗ ∣ u k ⃗ ∣ \mathbf{\vec{e_{k}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{k}}\right\rvert}} e k = ∣ u k ∣ u k
Étape 1 u 1 ⃗ = v 1 ⃗ = [ 0 3 4 ] \mathbf{\vec{u_{1}}} = \mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}0\\3\\4\end{array}\right] u 1 = v 1 = ⎣ ⎡ 0 3 4 ⎦ ⎤
e 1 ⃗ = u 1 ⃗ ∣ u 1 ⃗ ∣ = [ 0 3 5 4 5 ] \mathbf{\vec{e_{1}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{1}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{1}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}0\\\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}\right] e 1 = ∣ u 1 ∣ u 1 = ⎣ ⎡ 0 5 3 5 4 ⎦ ⎤ calculateur de vecteur unitaire ).
Étape 2 u 2 ⃗ = v 2 ⃗ − proj u 1 ⃗ ( v 2 ⃗ ) = [ 1 − 12 25 9 25 ] \mathbf{\vec{u_{2}}} = \mathbf{\vec{v_{2}}} - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{2}}}\right) = \left[\begin{array}{c}1\\- \frac{12}{25}\\\frac{9}{25}\end{array}\right] u 2 = v 2 − proj u 1 ( v 2 ) = ⎣ ⎡ 1 − 25 12 25 9 ⎦ ⎤ calculateur de projection vectorielle et calculateur de soustraction vectorielle ).
e 2 ⃗ = u 2 ⃗ ∣ u 2 ⃗ ∣ = [ 5 34 34 − 6 34 85 9 34 170 ] \mathbf{\vec{e_{2}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{2}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{2}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}\frac{5 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{6 \sqrt{34}}{85}\\\frac{9 \sqrt{34}}{170}\end{array}\right] e 2 = ∣ u 2 ∣ u 2 = ⎣ ⎡ 34 5 34 − 85 6 34 170 9 34 ⎦ ⎤ calculateur de vecteur unitaire ).
Étape 3 u 3 ⃗ = v 3 ⃗ − proj u 1 ⃗ ( v 3 ⃗ ) − proj u 2 ⃗ ( v 3 ⃗ ) = [ − 3 17 − 4 17 3 17 ] \mathbf{\vec{u_{3}}} = \mathbf{\vec{v_{3}}} - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{3}}}\right) - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{2}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{3}}}\right) = \left[\begin{array}{c}- \frac{3}{17}\\- \frac{4}{17}\\\frac{3}{17}\end{array}\right] u 3 = v 3 − proj u 1 ( v 3 ) − proj u 2 ( v 3 ) = ⎣ ⎡ − 17 3 − 17 4 17 3 ⎦ ⎤ calculateur de projection vectorielle et calculateur de soustraction vectorielle ).
e 3 ⃗ = u 3 ⃗ ∣ u 3 ⃗ ∣ = [ − 3 34 34 − 2 34 17 3 34 34 ] \mathbf{\vec{e_{3}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{3}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{3}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{3 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{2 \sqrt{34}}{17}\\\frac{3 \sqrt{34}}{34}\end{array}\right] e 3 = ∣ u 3 ∣ u 3 = ⎣ ⎡ − 34 3 34 − 17 2 34 34 3 34 ⎦ ⎤ calculateur de vecteur unitaire ).
Réponse L'ensemble des vecteurs orthonormés est { [ 0 3 5 4 5 ] , [ 5 34 34 − 6 34 85 9 34 170 ] , [ − 3 34 34 − 2 34 17 3 34 34 ] } ≈ { [ 0 0.6 0.8 ] , [ 0.857492925712544 − 0.411596604342021 0.308697453256516 ] , [ − 0.514495755427527 − 0.685994340570035 0.514495755427527 ] } . \left\{\left[\begin{array}{c}0\\\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{5 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{6 \sqrt{34}}{85}\\\frac{9 \sqrt{34}}{170}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}- \frac{3 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{2 \sqrt{34}}{17}\\\frac{3 \sqrt{34}}{34}\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}0\\0.6\\0.8\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0.857492925712544\\-0.411596604342021\\0.308697453256516\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-0.514495755427527\\-0.685994340570035\\0.514495755427527\end{array}\right]\right\}. ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ 0 5 3 5 4 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ 34 5 34 − 85 6 34 170 9 34 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ − 34 3 34 − 17 2 34 34 3 34 ⎦ ⎤ ⎭ ⎬ ⎫ ≈ ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ 0 0.6 0.8 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ 0.857492925712544 − 0.411596604342021 0.308697453256516 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ − 0.514495755427527 − 0.685994340570035 0.514495755427527 ⎦ ⎤ ⎭ ⎬ ⎫ . A
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