Calculatrice de Gram-Schmidt

Appliquer le processus de Gram-Schmidt étape par étape

Cette calculatrice orthonormalisera l'ensemble des vecteurs, c'est-à-dire qu'elle trouvera la base orthonormée, en utilisant le processus de Gram-Schmidt, avec les étapes indiquées.

A
v1\mathbf{\vec{v_{1}}} v2\mathbf{\vec{v_{2}}} v3\mathbf{\vec{v_{3}}}

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Votre contribution

Orthonormaliser l'ensemble des vecteurs v1=[034]\mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}0\\3\\4\end{array}\right], v2=[101]\mathbf{\vec{v_{2}}} = \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right], v3=[113]\mathbf{\vec{v_{3}}} = \left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{array}\right] à l'aide du processus de Gram-Schmidt.

Solution

Selon le processus de Gram-Schmidt, uk=vkj=1k1projuj(vk)\mathbf{\vec{u_{k}}} = \mathbf{\vec{v_{k}}} - \sum_{j=1}^{k - 1} \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{j}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{k}}}\right), où projuj(vk)=ujvkuj2uj\operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{j}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{k}}}\right) = \frac{\mathbf{\vec{u_{j}}}\cdot \mathbf{\vec{v_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{j}}\right\rvert}^{2}} \mathbf{\vec{u_{j}}} est une projection vectorielle.

Le vecteur normalisé est ek=ukuk\mathbf{\vec{e_{k}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{k}}\right\rvert}}.

Étape 1

u1=v1=[034]\mathbf{\vec{u_{1}}} = \mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}0\\3\\4\end{array}\right]

e1=u1u1=[03545]\mathbf{\vec{e_{1}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{1}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{1}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}0\\\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur de vecteur unitaire).

Étape 2

u2=v2proju1(v2)=[11225925]\mathbf{\vec{u_{2}}} = \mathbf{\vec{v_{2}}} - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{2}}}\right) = \left[\begin{array}{c}1\\- \frac{12}{25}\\\frac{9}{25}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur de projection vectorielle et calculateur de soustraction vectorielle).

e2=u2u2=[5343463485934170]\mathbf{\vec{e_{2}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{2}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{2}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}\frac{5 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{6 \sqrt{34}}{85}\\\frac{9 \sqrt{34}}{170}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur de vecteur unitaire).

Étape 3

u3=v3proju1(v3)proju2(v3)=[317417317]\mathbf{\vec{u_{3}}} = \mathbf{\vec{v_{3}}} - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{3}}}\right) - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{2}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{3}}}\right) = \left[\begin{array}{c}- \frac{3}{17}\\- \frac{4}{17}\\\frac{3}{17}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur de projection vectorielle et calculateur de soustraction vectorielle).

e3=u3u3=[334342341733434]\mathbf{\vec{e_{3}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{3}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{3}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{3 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{2 \sqrt{34}}{17}\\\frac{3 \sqrt{34}}{34}\end{array}\right] (pour les étapes, voir calculateur de vecteur unitaire).

Réponse

L'ensemble des vecteurs orthonormés est {[03545],[5343463485934170],[334342341733434]}{[00.60.8],[0.8574929257125440.4115966043420210.308697453256516],[0.5144957554275270.6859943405700350.514495755427527]}.\left\{\left[\begin{array}{c}0\\\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{5 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{6 \sqrt{34}}{85}\\\frac{9 \sqrt{34}}{170}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}- \frac{3 \sqrt{34}}{34}\\- \frac{2 \sqrt{34}}{17}\\\frac{3 \sqrt{34}}{34}\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}0\\0.6\\0.8\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0.857492925712544\\-0.411596604342021\\0.308697453256516\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-0.514495755427527\\-0.685994340570035\\0.514495755427527\end{array}\right]\right\}.A