Calculatrice d'inversion de matrice

Calculer $\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 3\end{array}\right]^{-1}$ en utilisant l'élimination de Gauss-Jordan.

Pour trouver la matrice inverse, augmentez-la avec la matrice identité et effectuez des opérations sur les lignes en essayant de faire passer la matrice identité à gauche. La matrice inverse se trouve alors à droite.

Il faut donc ajouter à la matrice la matrice d'identité :

$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$

Diviser la ligne $1$ par $2$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$

Soustraire la ligne $1$ de la ligne $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$

Multiplier la ligne $2$ par $\frac{2}{5}$: $R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Soustraire la ligne $2$ multipliée par $\frac{1}{2}$ de la ligne $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{R_{2}}{2}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Nous avons terminé. À gauche se trouve la matrice identité. À droite, la matrice inverse.

La matrice inverse est $\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.6 & -0.2\\-0.2 & 0.4\end{array}\right].$A