Calculateur de décomposition LU

La calculatrice trouvera (si possible) la décomposition LU de la matrice donnée $A$ , c'est-à-dire une matrice triangulaire inférieure $L$ et une matrice triangulaire supérieure $U$ telle que $A=LU$ , avec les étapes indiquées.

En cas de pivotement partiel (une permutation des lignes est nécessaire), la calculatrice trouvera également la matrice de permutation $P$ telle que $PA=LU$ .

Calculatrice associée: Calculatrice de factorisation QR

Taille de la matrice:

\times

Matrice:

A

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Votre contribution

Trouvez la décomposition LU de $\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$ .

Solution

Commencez par la matrice d'identité $L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$ .

Soustraire la ligne $1$ multipliée par $\frac{3}{2}$ de la ligne $2$ : $R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$ .

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$

Inscrivez le coefficient $\frac{3}{2}$ dans la matrice $L$ à la ligne $2$ , colonne $1$ :

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

Soustraire la ligne $1$ multipliée par $\frac{1}{2}$ de la ligne $3$ : $R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$ .

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$

Inscrivez le coefficient $\frac{1}{2}$ dans la matrice $L$ à la ligne $3$ , colonne $1$ :

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$

Ajouter la ligne $2$ multipliée par $\frac{3}{25}$ à la ligne $3$ : $R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$ .

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$

Inscrivez le coefficient $- \frac{3}{25}$ dans la matrice $L$ à la ligne $3$ , colonne $2$ :

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$

La matrice obtenue est la matrice $U$ .

Réponse

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$ A

$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$ A

Calculateur de décomposition LU

Trouver la factorisation LU d'une matrice étape par étape

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