Espace nul de la matrice (noyau) et calculateur de nullité

Trouver l'espace nul de $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\2 & -2 & 1\end{array}\right]$.

La forme échelonnée réduite de la matrice est $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$ (pour les étapes, voir calculatrice rref).

Pour trouver l'espace nul, il faut résoudre l'équation matricielle $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$

Si nous prenons $x_{2} = t$, alors $x_{1} = t$, $x_{3} = 0$.

Ainsi, $\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t\\t\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right] t.$

Il s'agit de l'espace nul.

La nullité d'une matrice est la dimension de la base de l'espace nul.

Ainsi, la nullité de la matrice est $1$.

La base de l'espace nul est $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}$A.

La nullité de la matrice est $1$A.