Calculatrice de la méthode du simplexe

La calculatrice résoudra le problème d'optimisation donné en utilisant l'algorithme du simplexe. Elle ajoutera du mou, du surplus et des variables artificielles, si nécessaire. En cas de variables artificielles, la méthode Big M ou la méthode à deux phases est utilisée pour déterminer la solution de départ. Des étapes sont disponibles.

Fonction objective:

Maximiser ?

Contraintes:

Séparés par des virgules.

Toutes les variables sont-elles non négatives ?

Méthode de la solution artificielle de départ:

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Maximiser $Z = 3 x_{1} + 4 x_{2}$ , sous réserve de $\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1} \geq 0 \\ x_{2} \geq 0 \end{cases}$ .

Solution

Le problème sous sa forme canonique peut être écrit comme suit :

Z = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max

\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{cases}

Ajoutez des variables (marge de manœuvre ou surplus) pour transformer toutes les inégalités en égalités :

Z = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max

\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + S_{1} = 8 \\ x_{1} + x_{2} + S_{2} = 6 \\ x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2} \geq 0 \end{cases}

Écrivez le tableau du simplexe :

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$S_{1}$	$1$	$2$	$1$	$0$	$8$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

La variable entrante est $x_{2}$ , car elle a le coefficient le plus négatif $-4$ dans la rangée Z.

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution	Ratio
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$S_{1}$	$1$	$2$	$1$	$0$	$8$	$\frac{8}{2} = 4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$	$\frac{6}{1} = 6$

La variable sortante est $S_{1}$ , car elle a le plus petit rapport.

Diviser la ligne $1$ par $2$ : $R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Ajouter la ligne $2$ multipliée par $4$ à la ligne $1$ : $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Soustraire la ligne $2$ de la ligne $3$ : $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$2$

La variable entrante est $x_{1}$ , car elle a le coefficient le plus négatif $-1$ dans la rangée Z.

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution	Ratio
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$	$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$
$S_{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$2$	$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

La variable sortante est $S_{2}$ , car elle a le plus petit rapport.

Multiplier la ligne $2$ par $2$ : $R_{2} = 2 R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Ajouter la ligne $3$ à la ligne $1$ : $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$0$	$0$	$1$	$2$	$20$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Soustraire la ligne $3$ multipliée par $\frac{1}{2}$ de la ligne $2$ : $R_{2} = R_{2} - \frac{R_{3}}{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solution
$Z$	$0$	$0$	$1$	$2$	$20$
$x_{2}$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$2$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Aucun des coefficients de la rangée Z n'est négatif.

L'optimum est atteint.

On obtient la solution suivante : $\left(x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2}\right) = \left(4, 2, 0, 0\right)$ .

Réponse

$Z = 20$ A est atteint à l'adresse $\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left(4, 2\right)$ A.

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Résoudre des problèmes d'optimisation à l'aide de la méthode du simplexe

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