Calculatrice de la méthode du simplexe

Résoudre des problèmes d'optimisation à l'aide de la méthode du simplexe

La calculatrice résoudra le problème d'optimisation donné en utilisant l'algorithme du simplexe. Elle ajoutera du mou, du surplus et des variables artificielles, si nécessaire. En cas de variables artificielles, la méthode Big M ou la méthode à deux phases est utilisée pour déterminer la solution de départ. Des étapes sont disponibles.

Séparés par des virgules.

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Votre contribution

Maximiser Z=3x1+4x2Z = 3 x_{1} + 4 x_{2}, sous réserve de {x1+2x28x1+x26x10x20\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1} \geq 0 \\ x_{2} \geq 0 \end{cases}.

Solution

Le problème sous sa forme canonique peut être écrit comme suit :

Z=3x1+4x2maxZ = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max{x1+2x28x1+x26x1,x20\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{cases}

Ajoutez des variables (marge de manœuvre ou surplus) pour transformer toutes les inégalités en égalités :

Z=3x1+4x2maxZ = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max{x1+2x2+S1=8x1+x2+S2=6x1,x2,S1,S20\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + S_{1} = 8 \\ x_{1} + x_{2} + S_{2} = 6 \\ x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2} \geq 0 \end{cases}

Écrivez le tableau du simplexe :

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ3-34-4000000
S1S_{1}1122110088
S2S_{2}1111001166

La variable entrante est x2x_{2}, car elle a le coefficient le plus négatif 4-4 dans la rangée Z.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}SolutionRatio
ZZ3-34-4000000
S1S_{1}112211008882=4\frac{8}{2} = 4
S2S_{2}111100116661=6\frac{6}{1} = 6

La variable sortante est S1S_{1}, car elle a le plus petit rapport.

Diviser la ligne 11 par 22: R1=R12R_{1} = \frac{R_{1}}{2}.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ3-34-4000000
x2x_{2}12\frac{1}{2}1112\frac{1}{2}0044
S2S_{2}1111001166

Ajouter la ligne 22 multipliée par 44 à la ligne 11: R1=R1+4R2R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ1-10022001616
x2x_{2}12\frac{1}{2}1112\frac{1}{2}0044
S2S_{2}1111001166

Soustraire la ligne 22 de la ligne 33: R3=R3R2R_{3} = R_{3} - R_{2}.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ1-10022001616
x2x_{2}12\frac{1}{2}1112\frac{1}{2}0044
S2S_{2}12\frac{1}{2}0012- \frac{1}{2}1122

La variable entrante est x1x_{1}, car elle a le coefficient le plus négatif 1-1 dans la rangée Z.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}SolutionRatio
ZZ1-10022001616
x2x_{2}12\frac{1}{2}1112\frac{1}{2}0044412=8\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8
S2S_{2}12\frac{1}{2}0012- \frac{1}{2}1122212=4\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

La variable sortante est S2S_{2}, car elle a le plus petit rapport.

Multiplier la ligne 22 par 22: R2=2R2R_{2} = 2 R_{2}.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ1-10022001616
x2x_{2}12\frac{1}{2}1112\frac{1}{2}0044
x1x_{1}11001-12244

Ajouter la ligne 33 à la ligne 11: R1=R1+R3R_{1} = R_{1} + R_{3}.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ000011222020
x2x_{2}12\frac{1}{2}1112\frac{1}{2}0044
x1x_{1}11001-12244

Soustraire la ligne 33 multipliée par 12\frac{1}{2} de la ligne 22: R2=R2R32R_{2} = R_{2} - \frac{R_{3}}{2}.

Basicx1x_{1}x2x_{2}S1S_{1}S2S_{2}Solution
ZZ000011222020
x2x_{2}0011111-122
x1x_{1}11001-12244

Aucun des coefficients de la rangée Z n'est négatif.

L'optimum est atteint.

On obtient la solution suivante : (x1,x2,S1,S2)=(4,2,0,0)\left(x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2}\right) = \left(4, 2, 0, 0\right).

Réponse

Z=20Z = 20A est atteint à l'adresse (x1,x2)=(4,2)\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left(4, 2\right)A.