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Dérivé de e−te^{- t}

La calculatrice trouvera la dérivée de e−te^{- t}, avec les étapes indiquées.

Calculatrice associée: Calculateur de dérivées

Solution

La fonction e−te^{- t} est la composition f(g(t))f{\left(g{\left(t \right)} \right)} de deux fonctions f(u)=euf{\left(u \right)} = e^{u} et g(t)=−tg{\left(t \right)} = - t.

Appliquer la règle de la chaîne ddt(f(g(t)))=ddu(f(u))ddt(g(t))\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right):

(ddt(e−t))=(ddu(eu)ddt(−t)){\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{- t}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dt} \left(- t\right)\right)}

La dérivée de l'exponentielle est ddu(eu)=eu\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}:

(ddu(eu))ddt(−t)=(eu)ddt(−t){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(- t\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dt} \left(- t\right)

Retour à l'ancienne variable :

e(u)ddt(−t)=e(−t)ddt(−t)e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dt} \left(- t\right) = e^{{\color{red}\left(- t\right)}} \frac{d}{dt} \left(- t\right)

Appliquer la règle du multiple constant ddt(cf(t))=cddt(f(t))\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right) avec c=−1c = -1 et f(t)=tf{\left(t \right)} = t:

e−t(ddt(−t))=e−t(−ddt(t))e^{- t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(- t\right)\right)} = e^{- t} {\color{red}\left(- \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}

Appliquer la règle de puissance ddt(tn)=ntn−1\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1} avec n=1n = 1, c'est-à-dire ddt(t)=1\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1:

−e−t(ddt(t))=−e−t(1)- e^{- t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = - e^{- t} {\color{red}\left(1\right)}

Ainsi, ddt(e−t)=−e−t\frac{d}{dt} \left(e^{- t}\right) = - e^{- t}.

Réponse

ddt(e−t)=−e−t\frac{d}{dt} \left(e^{- t}\right) = - e^{- t}A